Question

在等差数列{a_n}和等比数列{b_n}中，a₁=1，b₁=2，b_n＞0（n∈N^*），且b₁，a₂，b₂成等差数列，a₂，b₂，a₃+2成等比数列，数列{b_n}的前n项和为S_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若S_n+a_n＞m对任意的正整数n恒成立，求常数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）a_n=3n﹣2，b_n=2•3^n﹣1；（Ⅱ）{m|m<3}

解析试题分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q（q＞0）,由已知得,解得d=q=3,所以a_n=3n﹣2，b_n=2•3^n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知,从而,则3ⁿ+3n﹣3＞m对任意的正整数n恒成立,构造函数f（n）=3ⁿ+3n﹣3,则
f（n+1）﹣f（n）=2•3ⁿ﹣3＞0即f（n）单调递增，所以m＜f（1）=3,答案为{m|m<3}.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}的公比为q（q＞0）．
由题意，得，解得d=q=3．
∴a_n=3n﹣2，b_n=2•3^n﹣1；
（Ⅱ）∵S_n+a_n＞m对任意的正整数n恒成立，
∴3ⁿ+3n﹣3＞m对任意的正整数n恒成立，
令f（n）=3ⁿ+3n﹣3，则f（n+1）﹣f（n）=2•3ⁿ﹣3＞0，
∴f（n）单调递增，
∴m＜f（1）=3．
∴常数m的取值范围{m|m<3}
考点：1.等差数列和等比数列的通项公式;2.等比数列的求和公式;3.与正整数有关的不等式恒成立问题