Question

在以O为原点的直角坐标系中，点A(4，－3)为△OAB的直角顶点．已知|AB|＝2|OA|，且点B的纵坐标大于零．

(Ⅰ)求向量的坐标；

(Ⅱ)求圆x²－6x＋y²＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程；

(Ⅲ)是否存在实数a，使抛物线y＝ax²－1上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由；若存在，求a的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解(Ⅰ)设＝{u，v}，则由，即，得，或．因为＝＋＝{u＋4，v－3}， 　　所以　　v－3＞0，得v＝8，故＝{6，8}． 　　(Ⅱ)由＝{10，5}，得B(10，5)，于是直线OB方程：y＝x． 　　由条件可知圆的标准方程为：(x－3)2＋(y＋1)2＝10， 　　得圆心(3，－1)，半径为． 　　设圆心(3，－1)关于直线OB的对称点为(x，y)，则 　　，得， 　　故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10． 　　(Ⅲ)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)为抛物线上关于直线OB对称的两点，则 　　，得， 　　即x1、x2为方程x2＋x＋＝0的两个相异实根， 　　于是由Δ＝－4·＞0，得a＞． 　　故当a＞时，抛物线y＝ax2－1上总有关于直线OB对称的两点．