Question

已知曲线C上任意一点M到点F（1，0）的距离比它到直线x=-2的距离小1．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）直线l：y=-x+b与曲线C相交于A，B两点，P（1，2），设直线PA、PB的斜率分别为k₁，k₂，求证：k₁+k₂为定值．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，点P到F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等，由抛物线的定义可得点的轨迹是以F（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，从而可求曲线C的方程．
（II）将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得k₁+k₂值，从而解决问题．

解答：解：（Ⅰ）由题意，M到F（1，0）距离等于它到直线x=-1的距离，由抛物线定义，知C为抛物线，F（1，0）为焦点，x=-1为准线，所以C的方程为y²=4x．…（4分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立

y=-x+b y2=4x

⇒x2-(2b+4)x+b2=0
∴x₁+x₂=2b+4，x₁x₂=b²…（6分）
k1+k2=

y1-2

x1-1

+

y2-2

x2-1

=

(y1-2)(x2-1)+(y2-2)(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

=

y1x2-y1-2x2+2+y2x1-y2-2x1+2

(x1-1)(x2-1)

=

y1x2+y2x1-(y1+y2)-2(x1+x2)+4

(x1-1)(x2-1)

=

x2(-x1+b)+x1(-x2+b)-(-x1+b-x2+b)-2(x1+x2)+4

(x1-1)(x2-1)

=

-2x1x2+(b-1)(x1+x2)+4-2b

(x1-1)(x2-1)

=

-2b2+(b-1)(2b+4)+4-2b

(x1-1)(x2-1)

=0…（10分）
所以k₁+k₂为定值．…（12分）

点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、抛物线的标准方程的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想．属于基础题．