Question

(本小题满分12分)

如图，已知直线l与抛物线相切于点P(2，1)，且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为（2，0）.

（I） 若动点M满足，求点M的轨迹C；

（II）若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.

Answer 1

(本小题满分12分)

解：（I）由，∴直线l的斜率为，………1分

故l的方程为，∴点A坐标为（1，0） ……………………………… 2分

设    则，

由得

整理，得    ……………………………………………………4分

∴点M的轨迹为以原点为中心，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为2的椭圆 … 5分

   （II）如图，由题意知直线l的斜率存在且不为零，设l方程为y=k(x－2)(k≠0)①

将①代入，整理，得

，

由△>0得0<k²<.   设E(x₁，y₁)，F(x₂，y₂)

则 ②     ………………………………………………………7分

令，由此可得

由②知

     …………………………10分

.∴△OBE与△OBF面积之比的取值范围是（3－2，1）…12分.