题目内容

O是平面上一点，A，B，C是该平面上不共线的三个点，一动点P满足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，λ∈（0，+∞），则直线AP一定通过△ABC的（　　）
分析：设出BC的中点D，由题意可得
OP
-
OA
=λ(
AB
+
AC
)=2λ
AD
，进而可得
AP
=2λ
AD
，可得A、P、D三点共线，进而可得答案．
解答：解：设BC中点为D，则AD为△ABC中BC边上的中线，
由向量的运算法则可得
AB
+
AC
=2
AD
，
∵
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，
∴
OP
-
OA
=λ(
AB
+
AC
)=2λ
AD
，
∴
AP
=2λ
AD

∴A、P、D三点共线
所以点P一定过△ABC的重心．
故选C
点评：本题主要考查平面向量的基本定理和向量的共线定理．属中档题．
练习册系列答案
相关题目
O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线三点，平面α内的动点P满足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，若λ=
1
2
时，
PA
•(
PB
+
PC
)的值为
 
．
O是平面上一点，A，B，C是平面上不共线三点，动点P满足
OP
=
OA
+λ(
AB
+
AC
)，(λ∈[0，
1
2
])，当λ=
1
2
时，|
AP
|=2，求
PA
•(
PB
+
PC
）的最小值
 
．
O是平面上一点，A、B、C是平面上不共线三点，动点P满足
OP
=
OA
+λ（
AB
+
AC
），λ=
1
2
时，则
PA
•（
PB
+
PC
）的值为
0
0
．
O是平面上一点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ[],λ∈[0，+∞]则P的轨迹一定通过△ABC的（    ）

A．外心       B．内心    C．重心       D．垂心

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