Question

设函数，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3．

(Ⅰ)求y＝f(x)的解析式：

(Ⅱ)证明：函数y＝f(x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心；

(Ⅲ)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)，于是 　　解得　或 　　因，故． 　　(Ⅱ)证明：已知函数都是奇函数， 　　　所以函数也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形． 　　而函数． 　　可知，函数的图像按向量a＝平移，即得到函数的图象，故函数的图像是以点为中心的中心对称图形． 　　(Ⅲ)证明：在曲线上任一点． 　　由知，过此点的切线方程为 　　． 　　令得，切线与直线交点为． 　　令得，切线与直线交点为． 　　直线与直线的交点为(1，1)． 　　从而所围三角形的面积为． 　　所以，所围三角形的面积为定值2．

提示：

导数与函数的结合一直是高考的热点，要重点关注 　　本题是函数与导数的综合题，主要考查导数的应用，以及函数的有关性质，以及函数与方程的思想，以及分析问题与解决问题的能力．