题目内容

（2012•泉州模拟）已知函数y=f（x）在区间[a，b]上均有意义，且A、B是其图象上横坐标分别为a、b的两点．对应于区间[0，1]内的实数λ，取函数y=f（x）的图象上横坐标为x=λa+（1-λ）b的点M，和坐标平面上满足
MN
=λ
MA
+(1-λ)
MB
的点N，得
MN
．对于实数k，如果不等式|MN|≤k对λ∈[0，1]恒成立，那么就称函数f（x）在[a，b]上“k阶线性近似”．若函数y=x2+x在[1，2]上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为（　　）
分析：先得出M、N横坐标相等，将恒成立问题转化为求函数的最值问题．
解答：解：由题意，M、N横坐标相等，不等式|MN|≤k对λ∈[0，1]恒成立，则k≥|MN|的最大值．
由A、B是其图象上横坐标分别为a、b的两点，则A（1，2），（2，6）
∴AB方程为y-6=
6-2
2-1
×（x-2），即y=4x-2
由图象可知，|MN|=4x-2-（x2+x）=-（x-
3
2
）2+
1
4
≤
1
4

∴k≥
1
4

故选C．
点评：本题考查新定义，解答的关键是将已知条件进行转化，同时应注意恒成立问题的处理策略．
练习册系列答案
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12
的下方，求a的取值范围；
（Ⅲ）记f′（x）为函数f（x）的导函数．若a=1，试问：在区间[1，10]上是否存在k（k＜100）个正数x1，x2，x3…xk，使得f′（x1）+f'（x2）+f′（x3）+…+f′（xk）≥2012成立？请证明你的结论．
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1
2012
)+f(
2
2012
)+…+f(
4022
2012
)+f(
4023
2012
)=（　　）

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