Question

【题目】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x=1对称．
（1）求证：f（x）是周期为4的周期函数；
（2）若f（x）= （0＜x≤1），求x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由函数f（x）的图象关于直线x=1对称，

有f（x+1）=f（1﹣x），即有f（﹣x）=f（x+2）．

又函数f（x）是定义在R上的奇函数，故有f（﹣x）=﹣f（x）．

故f（x+2）=﹣f（x），从而f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），

即f（x）是周期为4的周期函数

（2）解：由函数f （x）是定义在R上的奇函数，可知f（0）=0．

x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣ ．

故x∈[﹣1，0]时，f（x）=﹣ ．

x∈[﹣5，﹣4]时，x+4∈[﹣1，0]，f（x）=f（x+4）=﹣ ．

从而，x∈[﹣5，﹣4]时，函数f（x）的解析式为f（x）=﹣

【解析】(1)由题意图象关于直线x=1对称，得出f（﹣x）=f（x+2），再根据函数的奇偶性得到f（x+2）=﹣f（x）进而f（x+4）=f（x）故得到周期。（2）当x∈[﹣1，0）时，﹣x∈（0，1]，由函数的奇偶性得到f（x）=﹣f（﹣x）=- ,再根据函数的周期性得出x∈[﹣5，﹣4]时的函数f（x）的解析式。