题目内容
(本小题满分15分)已知函数f(x)＝
，g(x)＝alnx，a∈R.
(1)若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，当h(x)存在最小值时，求其最小值φ(a)的解析式；
(3)对(2)中的φ(a)，证明：当a∈(0，＋∞)时，φ(a)≤1
【答案】
解：(1)f′(x)＝
，g′(x)＝
(x>0)，
∴两条曲线交点的坐标为(e2，e)．切线的斜率为k＝f′(e2)＝
，
∴切线的方程为y－e＝ (x－e2)．
(2)由条件知h(x)＝
－alnx(x>0)，
∴h′(x)＝－＝
，
①当a>0时，令h′(x)＝0，解得x＝4a2
∴当0<x<4a2时，h′(x)<0，h(x)在(0,4a2)上单调递减；
当x>4a2时，h′(x)>0， h(x)在(4a2，＋∞)上单调递增．
∴x＝4a2是h(x)在(0，＋∞)上的惟一极值点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点．
∴最小值φ(a)＝h(4a2)＝2a－aln (4a2)＝2a[1－ln (2a)]．
【解析】略
练习册系列答案
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的单调区间；
，试分别解答以下两小题.
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围；
是两个不相等的正数，且
，求证：
．
、
分别为椭圆
：
的 
：
的焦点，
是
。
：
，过点P的动直线
与圆
，
（
且
）。求证：点Q总在某定直线上。
的左、右焦点分别为
、
，过
与椭圆相交于A、B两点。
，且
，求椭圆的离心率；
求
的最大值和最小值。
在定义域内存在区间
，满足
是否为“优美函数”？若是，求出
；若不是，说明理由；
为“优美函数”，求实数
的取值范围．