Question

平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹，加上 两点，所成的曲线可以是圆，椭圆或双曲线．

（Ⅰ）求曲线的方程，并讨论的形状与值的关系;

（Ⅱ）当时，对应的曲线为；对给定的，对应的曲线为，若曲线的斜率为的切线与曲线相交于两点，且（为坐标原点），求曲线的方程．

Answer 1

解：（I）设动点为M，其坐标为，

    当时，由条件可得，

即，

又的坐标满足，

故依题意，曲线的方程为．--------------3分

当曲线的方程为，是焦点在轴上的椭圆；

当时，曲线的方程为，是圆心在原点，半径为2的圆；

当时，曲线的方程为，是焦点在轴上的椭圆；

当时，曲线的方程为，是焦点在轴上的双曲线．--------6分

（Ⅱ）曲线；，：，

      设圆的斜率为的切线和椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，

       令直线AB的方程为，①

       将其代入椭圆的方程并整理得

      

       由韦达定理得

                                              ②

       因为  ，

       所以                                                            ③

       将①代入③并整理得 

       联立②得                                                       ④

       因为直线AB和圆相切，因此，，

       由④得 所以曲线的方程，即．-------12分