题目内容
平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数的点的轨迹,加上 两点,所成的曲线可以是圆,椭圆或双曲线.
(I)求曲线的方程,并讨论的形状与值的关系.
(Ⅱ)当时,对应的曲线为;对给定的,对应的曲线为,若曲线的斜率为的切线与曲线相交于两点,且(为坐标原点),求曲线的方程.
【答案】
解:(I)设动点为M,其坐标为,
当时,由条件可得,
即,
又的坐标满足,
故依题意,曲线的方程为.--------------3分
当曲线的方程为,是焦点在轴上的椭圆;
当时,曲线的方程为,是圆心在原点,半径为2的圆;
当时,曲线的方程为,是焦点在轴上的椭圆;
当时,曲线的方程为,是焦点在轴上的双曲线.
--------6分
(Ⅱ)曲线;,:,
设圆的斜率为的切线和椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,
令直线AB的方程为,①
将其代入椭圆的方程并整理得
由韦达定理得
②
因为 ,
所以 ③
将①代入③并整理得
联立②得
④
因为直线AB和圆相切,
因此,,
由④得
所以曲线的方程,即.-------12分
练习册系列答案
相关题目