Question

（1）在伸缩变换

x′=2x y′= 3 y

下圆x²+y²=1变为曲线C．求曲线C的方程，并指出曲线的类型；当曲线C的动点M到直线L：

3

ρcosθ+2ρsinθ+5

6

=0距离的最大值时，求点M的坐标．
（2）设函数f（x）=|x+1|+|x-a|（a＞0）．
①作出函数f（x）的图象；
②若不等式f（x）≥5的解集为（-∞，-2]∪[3，+∞），求a值．

Answer 1

分析：（1）利用伸缩变换求出曲线C的方程，根据ρsinθ=y，ρcosθ=x，把极坐标方程化为普通方程得到直线l的方程，设出曲线C参数方程一点坐标，利用点到直线的距离公式表示出P到直线l的距离d，利用两角和的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，根据余弦函数的值域即可求出d的最大值．
（2）①根据题意，化简绝对值可得，函数f（x）=|x+1|+|x-a|=

-2x-1+a       (x＜-1) a+1     (-1 ≤x ≤ a) 2x+1-a    (x＞2 )

，进而做出其图象．
②由题设知：|x+1|+|x-a|≥5，在同一坐标系中作出函数y=5的图象，当x=-2或3时，f（x）=5，且a+1＜5即a＜4，由f（-2）=5 求得 a 的值．

解答：解：（1）由x′=2x，y′=

3

y得x=

x′

2

，y=

y′

3

代入x²+y²=1
即曲线C：

x2

4

+

y2

3

=1．
该曲线是椭圆．其参数方程为：

x=2cosθ y= 3 sinθ

（θ为参数）
设椭圆C上动点M(2cosθ，

3

sinθ)，(0≤θ＜2π)
到直线L：

3

x+2y+5

6

=0的距离为d=

|2 3 cosθ+2 3 sinθ+5 6 |

7

=

|2 6 sin(θ+ π 4 )+5 6 |

7

≤

42

．
当θ=

π

4

时，曲线C的动点M到直线L的距离最大，此时M(

2

，

6

2

)…（7分）

（2）①f（x）=|x+1|+|x-a|=

-2x-1+a       (x＜-1) a+1     (-1 ≤x ≤ a) 2x+1-a    (x＞2 )

，
函数f（x）如图所示．
②由题设知：|x+1|+|x-a|≥5，
如图，在同一坐标系中作出函数y=5的图象
（如图所示）
又解集为（-∞，-2]∪[3，+∞）．
由题设知，当x=-2或3时，f（x）=5
且a+1＜5即a＜4，
由f（-2）=-2（-2）-1+a=5得：a=2．

点评：本题考查伸缩变换、简单曲线的极坐标方程、绝对值不等式的解法，函数图象的特征，体现了数形结合的数学思想，第（2）小题画出函数f（x）的图象，是解题的关键．