题目内容

精英家教网本题有(1),(2),(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.
(1)选修4-2:矩阵与变换
如图所示:△OAB在伸缩变换M作用下变为△OA1B1
(i)求矩阵M的特征值及相应的特征向量;
(ii)求逆矩阵M-1以及(M-120
(2)选修4-4:坐标系与参数方程.
已知曲线C1的参数方程为
x=2sinθ
y=cosθ
(θ为参数),曲线C2的参数方程为
x=2t
y=t+1
(t为参数)
(i)若将曲线C1与C2上各点的横坐标都缩短为原来的一半,分别得到曲线C1和C2,求出曲线C1和C2的普通方程;
(ii)以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求过极点且与C2垂直的直线的极坐标方程.
(3)选修4-5:不等式选讲
已知a,b,c为实数,且a+b+c+2-2m=0,a2+
b 2
4
+
c 2
9
+m-1=0
(i)求证:a2+
b 2
4
+
c 2
9
(a+b+c) 2
14

(ii)求实数m的取值范围.
分析:(1)(i)先设出所求矩阵,利用待定系数法建立一个四元一次方程组,解方程组即可,先根据特征值的定义列出特征多项式,令f(λ)=0解方程可得特征值,再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量.
(ii)再根据求逆矩阵的公式求出逆矩阵;
(2)(i)横坐标都缩短为原来的一半,就是将x的值变为原来的一半就可求出变换后的曲线方程,再利用同角三角函数的关系进行消元即可;
(ii)先求出过原点且与曲线C2′垂直的直线方程的普通方程,再将普通方程化成极坐标方程即可.
(3)(i)根据柯西不等式直接证明即可;
(ii)将(i)中的a、b、c用等式a+b+c+2-2m=0,a2+
b 2
4
+
c 2
9
+m-1=0代入,消去a、b、c得到关于m的不等关系,解之即可求出m的范围.
解答:解:(1)(i)根据图形可知将点B(1,1)变成成了B'(2,3),将A点(2,0)变成了A'(4,0)
ab
cd
,则有
ab
cd
 
1
1
=
2
3
ab
cd
 
2
0
=
4
0

所以
a+b=2
c+d=3
2a+0=4
2c+0=0

解得
a=2
b=0
c=0
d=3
所以M=
20
03

矩阵M的特征多项式为 f(λ)=
.
λ-2     0
 0    λ-3
.
=λ2-5λ+6

令f(λ)=0,解得λ1=2,λ2=3,
将λ1=2代入二元一次方程组
(λ-2)•x+0•y=0
0•x+(λ-3)y=0
解得y=0,
所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为
1
0

同理,矩阵M属于特征值2的一个特征向量为
0
1

(ii)M=
20
03
,从而M-1=
1
2
0
0
1
3

∴(M-120=
1
250
0
0
1
350

(2)(i)C1′:
x=sinθ
y=cosθ
(θ为参数),(2分)
C2′:
x=t
y=t+1
(t为参数)(4分)
C1′的普通方程:x2+y2=1,C2′的普通方程:y=x+1(6分)
(ii)在直角坐标系中过极点即为过原点与曲线C2′垂直的直线方程:即为y=-x(8分)
在极坐标系中,直线化为tanθ=1,方程为θ=
π
4
θ=
4

(3)(i)根据柯西不等式可得(a2+
b2
4
+
c2
9
)(1+22+32)≥(a×1+
b
2
×2+
c
3
×3)
2
=(a+b+c)2
∴a2+
b2
4
+
c 2
9
(a+b+c)2
14

(ii)∵a+b+c+2-2m=0,a2+
b2
4
+
c2
9
+m-1=0
∴1-m≥
(2m-2)2
14
解得:1≤m
9
2
点评:本题主要考查来了逆矩阵与投影变换,以及圆的参数方程和直线的参数方程,以及不等式的证明等基础知识,是一道综合题,属于中档题.
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