题目内容
本题有(1),(2),(3)三个选答题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.(1)选修4-2:矩阵与变换
如图所示:△OAB在伸缩变换M作用下变为△OA1B1.
(i)求矩阵M的特征值及相应的特征向量;
(ii)求逆矩阵M-1以及(M-1)20
(2)选修4-4:坐标系与参数方程.
已知曲线C1的参数方程为
|
|
(i)若将曲线C1与C2上各点的横坐标都缩短为原来的一半,分别得到曲线C1和C2,求出曲线C1和C2的普通方程;
(ii)以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求过极点且与C2垂直的直线的极坐标方程.
(3)选修4-5:不等式选讲
已知a,b,c为实数,且a+b+c+2-2m=0,a2+
b 2 |
4 |
c 2 |
9 |
(i)求证:a2+
b 2 |
4 |
c 2 |
9 |
(a+b+c) 2 |
14 |
(ii)求实数m的取值范围.
分析:(1)(i)先设出所求矩阵,利用待定系数法建立一个四元一次方程组,解方程组即可,先根据特征值的定义列出特征多项式,令f(λ)=0解方程可得特征值,再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量.
(ii)再根据求逆矩阵的公式求出逆矩阵;
(2)(i)横坐标都缩短为原来的一半,就是将x的值变为原来的一半就可求出变换后的曲线方程,再利用同角三角函数的关系进行消元即可;
(ii)先求出过原点且与曲线C2′垂直的直线方程的普通方程,再将普通方程化成极坐标方程即可.
(3)(i)根据柯西不等式直接证明即可;
(ii)将(i)中的a、b、c用等式a+b+c+2-2m=0,a2+
+
+m-1=0代入,消去a、b、c得到关于m的不等关系,解之即可求出m的范围.
(ii)再根据求逆矩阵的公式求出逆矩阵;
(2)(i)横坐标都缩短为原来的一半,就是将x的值变为原来的一半就可求出变换后的曲线方程,再利用同角三角函数的关系进行消元即可;
(ii)先求出过原点且与曲线C2′垂直的直线方程的普通方程,再将普通方程化成极坐标方程即可.
(3)(i)根据柯西不等式直接证明即可;
(ii)将(i)中的a、b、c用等式a+b+c+2-2m=0,a2+
b 2 |
4 |
c 2 |
9 |
解答:解:(1)(i)根据图形可知将点B(1,1)变成成了B'(2,3),将A点(2,0)变成了A'(4,0)
设
,则有
=
,
=
,
所以
且
,
解得
所以M=
,
矩阵M的特征多项式为 f(λ)=
=λ2-5λ+6,
令f(λ)=0,解得λ1=2,λ2=3,
将λ1=2代入二元一次方程组
解得y=0,
所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为
;
同理,矩阵M属于特征值2的一个特征向量为
;
(ii)M=
,从而M-1=
∴(M-1)20=
(2)(i)C1′:
(θ为参数),(2分)
C2′:
(t为参数)(4分)
C1′的普通方程:x2+y2=1,C2′的普通方程:y=x+1(6分)
(ii)在直角坐标系中过极点即为过原点与曲线C2′垂直的直线方程:即为y=-x(8分)
在极坐标系中,直线化为tanθ=1,方程为θ=
或 θ=
(3)(i)根据柯西不等式可得(a2+
+
)(1+22+32)≥(a×1+
×2+
×3)2=(a+b+c)2
∴a2+
+
≥
(ii)∵a+b+c+2-2m=0,a2+
+
+m-1=0
∴1-m≥
解得:1≤m≤
设
|
|
|
|
|
|
|
所以
|
|
解得
|
|
矩阵M的特征多项式为 f(λ)=
|
令f(λ)=0,解得λ1=2,λ2=3,
将λ1=2代入二元一次方程组
|
所以矩阵M属于特征值1的一个特征向量为
|
同理,矩阵M属于特征值2的一个特征向量为
|
(ii)M=
|
|
∴(M-1)20=
|
(2)(i)C1′:
|
C2′:
|
C1′的普通方程:x2+y2=1,C2′的普通方程:y=x+1(6分)
(ii)在直角坐标系中过极点即为过原点与曲线C2′垂直的直线方程:即为y=-x(8分)
在极坐标系中,直线化为tanθ=1,方程为θ=
π |
4 |
3π |
4 |
(3)(i)根据柯西不等式可得(a2+
b2 |
4 |
c2 |
9 |
b |
2 |
c |
3 |
∴a2+
b2 |
4 |
c 2 |
9 |
(a+b+c)2 |
14 |
(ii)∵a+b+c+2-2m=0,a2+
b2 |
4 |
c2 |
9 |
∴1-m≥
(2m-2)2 |
14 |
9 |
2 |
点评:本题主要考查来了逆矩阵与投影变换,以及圆的参数方程和直线的参数方程,以及不等式的证明等基础知识,是一道综合题,属于中档题.
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