题目内容

求函数y=x-
3x-2
的值域．
分析：换元：令
3x-2  
=t（t≥0），将原函数转化为y=
1
3
t2-t+
2
3
，再结合函数的图象，求二次函数在[0，+∞）上的最小值，即可得到函数y=x-
3x-2
的值域．
解答：解：令
3x-2  
=t（t≥0），得x=
1
3
（t2+2）
∴y=x-
3x-2
=
1
3
（t2+2）-t=
1
3
t2-t+
2
3

∵
1
3
t2-t+
2
3
=
1
3
（t-
3
2
）2-
1
12

∴y=
1
3
t2-t+
2
3
的最小值为-
1
12
，当且仅当t=
3
2
，即x=
17
12
时，函数取得最小值
综上所述，得函数y=x-
3x-2
的值域为[-
1
12
，+∞）
点评：本题采用换元的方法，求含有根式的函数的值域，着重考查了二次函数的图象与性质和函数值域的求法等知识，属于基础题．
练习册系列答案
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请先阅读：
设平面向量
a
=（a1，a2），
b
=（b1，b2），且
a
与
b
的夹角为θ，
因为
a
•
b
=|
a
||
b
|cosθ，
所以
a
•
b
≤|
a
||
b
|．
即a1b1+a2b2≤
a
2
1
+
a
2
2
×
b
2
1
+
b
2
2
，
当且仅当θ=0时，等号成立．
（I）利用上述想法（或其他方法），结合空间向量，证明：对于任意a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，都有(a1b1+a2b2+a3b3)2≤(
a
2
1
+
a
2
2
+
a
2
3
)(
b
2
1
+
b
2
2
+
b
2
3
)成立；
（II）试求函数y=
x
+
2x-2
+
8-3x
的最大值．
（1）x，y∈R，x+y=5，求3x+3y的最小值．
（2）若0＜x＜
13
时，求函数y=x（1-3x）的最大值．
①求函数y=
3x-1
x2+x-2
的定义域；
②求函数y=x+
1-2x
的值域．
（1）求函数y=
3x-1
|x+1|+|x-1|
的定义域；
（2）求函数y=x+
1-2x
的值域．

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