题目内容
已知函数f（x）=log0.5（sin2x）
（1）求它的定义域，值域和单调区间；
（2）判断它的奇偶性和周期性．
（1）求它的定义域，值域和单调区间；
（2）判断它的奇偶性和周期性．
分析：（1）由sin2x＞0，能求出f（x）的定义域，由0≤f（x）=log0.5（sin2x）＜+∞，能求出f（x）的值域，由f（x）的单调递减区间满足2kπ＜2x≤2kπ+
，k∈Z，单调递增区间满足2kπ+
≤2x＜2kπ+π，k∈Z，能求出f（x）的单调区间．
（2）由f(
)=0，而f(-
)没有意义，知f（x）是非奇非偶函数由y=sin2x是周期函数，且最小正周期为π，知f（x）是周期函数，且最小正周期为π．
| π |
| 2 |
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（2）由f(
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解答：解：∵sin2x＞0，∴2kπ＜2x＜2kπ+π，k∈Z，即kπ＜x＜kπ+
，k∈Z，
∴f（x）的定义域为{x|kπ＜x＜kπ+
，k∈Z}．
∵0＜sin2x≤1，
∴0≤f（x）=log0.5（sin2x）＜+∞，
∴f（x）的值域为[0，+∞）．
∵f（x）的单调递减区间满足2kπ＜2x≤2kπ+
，k∈Z，∴kπ＜x≤kπ+
，k∈Z，
故f（x）的单调递减区间为(kπ，kπ+
]，k∈Z；
∵f（x）的单调递增区间满足2kπ+
≤2x＜2kπ+π，k∈Z，
∴kπ+
≤x＜kπ+
，k∈Z．
故f（x）的单调递增区间为[kπ+
，kπ+
)，k∈Z．
（2）因f(
)=0，而f(-
)没有意义
故f（x）是非奇非偶函数
由y=sin2x是周期函数，且最小正周期为π，
∴f（x）是周期函数，且最小正周期为π．
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| 2 |
∴f（x）的定义域为{x|kπ＜x＜kπ+
| π |
| 2 |
∵0＜sin2x≤1，
∴0≤f（x）=log0.5（sin2x）＜+∞，
∴f（x）的值域为[0，+∞）．
∵f（x）的单调递减区间满足2kπ＜2x≤2kπ+
| π |
| 2 |
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故f（x）的单调递减区间为(kπ，kπ+
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∵f（x）的单调递增区间满足2kπ+
| π |
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∴kπ+
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故f（x）的单调递增区间为[kπ+
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（2）因f(
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故f（x）是非奇非偶函数
由y=sin2x是周期函数，且最小正周期为π，
∴f（x）是周期函数，且最小正周期为π．
点评：本题考查函数的定义域、值域、单调区间、奇偶性和周期性的求法，解题时要认真审题，注意三角函数的性质的合理运用．
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