Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点F₁，F₂在x轴上，焦距为2，并且椭圆C上的点与焦点最短的距离是1。
（1）求椭圆C的离心率及标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点M，N，则k与m之间应该满足怎样的关系？
（3）在（2）的条件下，且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A，求证：直线l必过定点，并求出定点的坐标。

Answer 1

解：（1）∵2c=2，a-c=1，
∴c=1，a=2，
∴b²=a²-c²=3
∴椭圆C的方程为。
（2）由方程组得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
由题意：Δ=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）>0，
整理得3+4k²-m²>0 ①；
 （3）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则
由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A（2，0），
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，
即（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0，
即
整理得7m²+16mk+4k²=0，
解得m=-2k或，均满足①
当m=-2k时，直线l的方程为y=kx-2k，过定点（2，0），舍去；
当时，直线l的方程为，过定点
故直线l过定点，且定点的坐标为。