Question

在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为A（-3，0），B（3，0），△ABC的周长为16，
（Ⅰ）求顶点C的轨迹方程；
（Ⅱ）过点A作直线，与（Ⅰ）中的曲线交于M，N两点，试判断是否存在最小值，若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵|CA|+|CB|=10为定值，
所以C点的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，焦距2c=6，
设椭圆为方程，且2a=10，
易得a=5，c=3，b=4，
所以C点的轨迹方程为。
（Ⅱ）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
当直线MN的倾斜角不为90°时，设其方程为y=k（x+3）（k≠0），
代入椭圆方程化简，得，
显然有，
又，
同理，
所以

，
只要考虑的最小值，即考虑取最小值，
而k≠0，所以上式无最小值，
显然k=0时，取最小值16；
当直线MN的倾斜角为90°时，x₁=x₂=-3，
得；
∴的最小值不存在。