题目内容

已知:如图,在四棱锥中,四边形为正方形,,且中点.

(Ⅰ)证明://平面

(Ⅱ)证明:平面平面

(Ⅲ)求二面角的正弦值.

 

【答案】

(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ)

【解析】

试题分析:(Ⅰ)

证明:连结BD交AC于点O,连结EO.                                      ……1分

O为BD中点,E为PD中点,

∴EO//PB.                                                              ……2分

EO平面AEC,PB平面AEC,                                          ……3分

∴ PB//平面AEC.                       

(Ⅱ)

证明:

PA⊥平面ABCD.平面ABCD,

.                                                           ……4分

在正方形ABCD中,                         ……5分

∴CD平面PAD.                                                        ……6分

平面PCD,

∴平面平面.                                               ……7分

(Ⅲ)如图,以A为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空

间直角坐标系.

                                          ……8分

由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为

A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),

D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) .                                  ……9分

PA平面ABCD,∴是平面ABCD的法向量,=(0, 0, 2).

设平面AEC的法向量为, ,

  即 

∴令,则.                                            ……11分

,                             ……12分

二面角的正弦值为.                                      ……13分

考点:本小题主要考查线面平行和面面垂直的证明和二面角的求法,考查学生的空间想象能力和运算求解能力.

点评:证明线面平行和面面垂直时,要紧扣定理要求的条件,缺一不可,用向量求二面角时,要注意所求的二面角时锐角还是钝角.

 

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