题目内容
已知:如图,在四棱锥中,四边形为正方形,,且,为中点.
(Ⅰ)证明://平面;
(Ⅱ)证明:平面平面;
(Ⅲ)求二面角的正弦值.
(Ⅰ)见解析(Ⅱ)见解析(Ⅲ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)
证明:连结BD交AC于点O,连结EO. ……1分
O为BD中点,E为PD中点,
∴EO//PB. ……2分
EO平面AEC,PB平面AEC, ……3分
∴ PB//平面AEC.
(Ⅱ)
证明:
PA⊥平面ABCD.平面ABCD,
∴. ……4分
又在正方形ABCD中且, ……5分
∴CD平面PAD. ……6分
又平面PCD,
∴平面平面. ……7分
(Ⅲ)如图,以A为坐标原点,所在直线分别为轴,轴,轴建立空
间直角坐标系.
……8分
由PA=AB=2可知A、B、C、D、P、E的坐标分别为
A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0),
D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) . ……9分
PA平面ABCD,∴是平面ABCD的法向量,=(0, 0, 2).
设平面AEC的法向量为, ,
则 即
∴
∴令,则. ……11分
∴, ……12分
二面角的正弦值为. ……13分
考点:本小题主要考查线面平行和面面垂直的证明和二面角的求法,考查学生的空间想象能力和运算求解能力.
点评:证明线面平行和面面垂直时,要紧扣定理要求的条件,缺一不可,用向量求二面角时,要注意所求的二面角时锐角还是钝角.