Question

已知：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（Ⅰ）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）若E是PD的中点，求异面直线AE与PC所成角的余弦值；
（Ⅲ）点G在线段BC上，且BG=

3

，求点D到平面PAG的距离．

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）证明平面PDC内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线PA，AD即可证明CD⊥平面PAD，从而证明平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）E是PD的中点，设CD的中点为F，连接EF、AF，说明∠AEF是异面直线AE与PC所成角或其补角，解三角形AEF，就可求异面直线AE与PC所成角的余弦值；
（Ⅲ）过点D作DM⊥AG于M．点G在线段BC上，且BG=

3

，说明线段DM的长是点D到平面PAG的距离，利用三角形面积求点D到平面PAG的距离．
法二：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
（Ⅰ）利用

CD

•

AD

=0 及 

CD

•

AP

=0证明CD⊥平面PAD．推出平面PDC⊥平面PAD．
（Ⅱ）利用cos＜

AE

，

PC

＞=

AE • PC

| AE |•| PC |

直接求解即可．
（Ⅲ）作DQ⊥AG于Q，说明线段DQ的长是点D到平面PAG的距离，利用2S_△ADG=S_矩形ABCD，
∴|

AG

|•|

DQ

|=|

AB

|•|

AD

|=2求出点D到平面PAG的距离为1．

解答：解法一：（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD．（1分）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD⊥CD．
又PA∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD．（3分）
又∵CD?平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD．（5分）
（Ⅱ）解：设CD的中点为F，连接EF、AF．
∵E是PD中点，
∴EF∥PC．
∴∠AEF是异面直线AE与PC所成角或其补角．（7分）
由PA=AB=1，BC=2，计算得AE=

1

2

PD=

5

2

，EF=

1

2

PC=

6

2

，AF=

17

2

，cos∠AEF=

AE2+EF2-AF2

2AE•EF

=

5 4 + 6 4 - 17 4

2• 5 2 • 6 2

=-

30

10

，（9分）
∴异面直线AE与PC所成角的余弦值为

30

10

．（10分）
（Ⅲ）解：过点D作DM⊥AG于M．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DM．
又PA∩AG=A，
∴DM⊥平面PAG．
∴线段DM的长是点D到平面PAG的距离．（12分）
又S△AGD=

1

2

AG•DM=

1

2

1+( 3 )2

•DM=1，
解得DM=1．
所以点D到平面PAG的距离为1．（14分）
解法二：如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0，），D（0，2，0），E（0，1，），P（0，0，1）．
∴

CD

=（-1，0，0），

AD

=（0，2，0），

AP

=（0，0，1），

AE

=（0，1，

1

2

），

PC

=（1，2，-1）．（2分）
（Ⅰ）∵

CD

•

AD

=0，
∴CD⊥AD．
∵

CD

•

AP

=0，
∴CD⊥AP．
又AP∩AD=A，
∴CD⊥平面PAD．（5分）
∵CD?平面PAD，
∴平面PDC⊥平面PAD．（7分）

（Ⅱ）∵cos＜

AE

，

PC

＞=

AE • PC

| AE |•| PC |

=

2- 1 2

1+ 1 4 • 6

=

30

10

，（9分）
∴异面直线AE与PC所成角的余弦值为

30

10

．（10分）
（Ⅲ）作DQ⊥AG于Q．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DQ．
又PA∩AG=A，
∴DQ⊥平面PAG．
∴线段DQ的长是点D到平面PAG的距离．（12分）
∵2S_△ADG=S_矩形ABCD，
∴|

AG

|•|

DQ

|=|

AB

|•|

AD

|=2，
由|

AG

|=2，得到|

DQ

|=1．
∴点D到平面PAG的距离为1．（14分）

点评：本题考查平面与平面垂直的判定，异面直线及其所成的角，点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．