Question

已知函数f（x）=lnx-x+1（x＞0）
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）若a＞1，函数g（x）=x²-3ax+2a²-5，若对?x₀∈（0，1），总?x₁∈（0，1）使得f（x₁）=g（x₀）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对f（x）进行求导，令f′（x）=0，求出极值点，利用导数研究单调区间；
（2）由（1）知f（x）的最大值小于0，如果?x₁∈（0，1）使得f（x₁）=g（x₀）成立，就必须要求，g（x）在（0，1）上恒小于0即可；

解答：解：（1）f′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

，（x＞0）令f′（x）=0，得x=1，
当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；
f（x）在x=1取极大值，也是最大值f_max（x）=f（1）=0，
∴f（x）的单调增区间为（0，1），减区间（1，+∞），
∴f_极小值（x）=f（1）=0，无极大值；
（2）由（1）知f（x）在（0，+∞）f（x）＜0，
要使?x₁∈（0，1）使得f（x₁）=g（x₀）成立，
得g（x）在（0，1）上恒小于0，a＞1，∵

3

2

a＞1，
∴g（x）在（0，1）上是减函数，
∴g（0）＜0，a＞1，
∴2a²-5＜0，
∴1＜a＜

10

2

；

点评：此题考查利用导数求函数单调区间，第二问涉及函数的恒成立问题，考查知识点比较全面，是一道中档题；