Question

已知向量

m

=(cosx，-1)，向量

n

=(

3

sinx，-

1

2

)，函数f(x)=(

m

+

n

)•

m

．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期T；
（Ⅱ）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，A为锐角，a=1，c=

3

，且f（A）恰是f（x）在[0，

π

2

]上的最大值，求A，b和△ABC的面积．

Answer 1

分析：（I）根据向量数量积的坐标公式，并且结合三角函数的降次公式和辅助角公式化简，得f（x）=sin（2x+

π

6

）+2，再结合三角函数的周期公式，即可得到f（x）的最小正周期T；
（II）根据（I）的表达式并且A为锐角，得当A=

π

6

时，f（x）有最大值3，结合余弦定理和题中数据列式，解出b=1或b=2，最后利用正弦定理可得△ABC的面积．

解答：解：（Ⅰ）∵

m

+

n

=（cosx+

3

sinx，-

3

2

）
∴（

m

+

n

）•

m

=cosx（cosx+

3

sinx）+

3

2

=

1

2

（1+cos2x）+

3

2

sin2x+

3

2

…（2分）
∴f（x）=

1

2

（1+cos2x）+

3

2

sin2x+

3

2

=

3

2

sin2x+

1

2

cos2x+2=sin（2x+

π

6

）+2…（5分）．
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（A）=sin（2A+

π

6

）+2
∵A为锐角，

π

6

＜2A+

π

6

＜

7π

6

∴当2A+

π

6

=

π

2

时，即A=

π

6

时，f（x）有最大值3，…（8分）
由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，
∴1=b2+3-2×

3

×b×cos

π

6

，∴b=1或b=2，…（10分）
∵△ABC的面积S=

1

2

bcsinA
∴当b=1时，S=

1

2

×1×

3

×sin

π

6

=

3

4

；当当b=2时，S=

1

2

×2×

3

×sin

π

6

=

3

2

．…（12分）
综上所述，得A=

π

6

，b=1，S_△ABC=

3

4

或A=

π

6

，b=2，S_△ABC=

3

2

．

点评：本题是一道三角函数综合题，着重考查了运用正余弦定理解三角形、三角函数的周期性及其求法、三角恒等变形和平面向量数量积的运算等知识点，属于中档题．