题目内容

已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为 $数学公式$ ，它的一个顶点为抛物线x²=4y的焦点．
（I）求椭圆方程；
（II）若直线y=x-1与抛物线相切于点A，求以A为圆心且与抛物线的准线相切的圆的方程；
（III）若斜率为1的直线交椭圆于M、N两点，求△OMN面积的最大值（O为坐标原点）．

解：（I）设椭圆的方程： $\text{[math]}$
∵椭圆的一个顶点为抛物线x²=4y的焦点，∴b=1
∵椭圆的离心率为 $\text{[math]}$ ，∴e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴a²=2
∴椭圆的方程为： $\text{[math]}$
（II）得：x²-4x+4=0，解得x=2，
代入抛物线方程x²=4y，得y=1，故点A的坐标为（2，1），
因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，
即r=|1-（-1）|=2，
所以圆A的方程为：（x-2）²+（y-1）²=4．
（III）设斜率为1的直线方程为y=x+m，代入椭圆方程，消去y可得3x²+4mx+2m²-2=0
∵直线交椭圆于M、N两点，∴△=16m²-12（2m²-2）＞0，∴- $\text{[math]}$ ＜m＜ $\text{[math]}$
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$
∴|MN|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵原点O到直线MN的距离d= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （当且仅当 $\text{[math]}$ 时，取等号）
∴△OMN面积的最大值为 $\text{[math]}$ ．
分析：（I）设出椭圆的标准方程，利用抛物线的焦点坐标可得b的值，利用椭圆的离心率，即可求得椭圆的几何量，从而可得椭圆的方程；
（II）将直线y=x-1代入x²=4y得x²-4x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x²=4y，得点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=-1的距离，由此能求出圆A的方程；
（III）设斜率为1的直线方程为y=x+m，代入椭圆方程，消去y可得3x²+4mx+2m²-2=0，利用韦达定理计算|MN|，求得原点O到直线MN的距离，从而可表示三角形的面积，利用基本不等式，可求OMN面积的最大值．
点评：本题考查椭圆、圆的标准方程，考查抛物线的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查利用基本不等式求最值，正确运用韦达定理是关键．