Question

已知△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，关于x的不等式x²cosC+4xsinC+6＜0的解集是空集
（Ⅰ）求角C的最大值；
（Ⅱ）若c=

7

2

，△ABC的面积S=

3

2

3

，求当角C取最大值时a+b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据不等式的性质可判断出判别式小于或等于0且cosC＞0，求得cosC的范围，进而根据余弦函数的单调性求得C的最大值．
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中求得C，利用三角形面积公式求得ab的值，进而代入余弦定理求得a+b的值．

解答：解：（Ⅰ）∵不等式x²cosC+4xsinC+6＜0的解集是空集．
∴

cosC＞0 △≤0

，即

cosC＞0 16sin2C-24cosC≤0

，
即

cosC＞0 cosC≤-2或cosC≥ 1 2

，
故cosC≥

1

2

，∴角C的最大值为60°．
（Ⅱ）当C=60°时，S△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab=

3

2

3

，∴ab=6，
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab-2abcosC，
∴(a+b)2=c2+3ab=

121

4

，
∴a+b=

11

2

．

点评：本题主要考查了余弦定理的应用，解不等式问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．