题目内容

2.给出下列命题:
①函数$f(x)=4cos(2x+\frac{π}{3})$的一个对称中心为$(-\frac{5}{12}π,0)$
②已知:f(x)=min{sinx,cosx},则f(x)的值域为$[-1,\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$
③若α,β均为第一象限角,且α>β,则sinα>sinβ
④若${(\frac{1}{2})^a}={(\frac{1}{3})^b}$,则a>b>0
⑤定义域为R的函数y=f(x)满足f(-x)+f(x+2)=2,则其图象关于点(1,1)对称
其中正确命题的序号是①②⑤(写出所有正确命题的序号)

分析 ①令2x+$\frac{π}{3}$=$kπ+\frac{π}{2}$,解得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$,令k=-1,即可判断出正误;
②f(x)=min{sinx,cosx},画出一个周期的图象,即可判断出正误;
③不正确,举反例:$α=2π+\frac{π}{6}$,$β=\frac{π}{3}$;
④若${(\frac{1}{2})^a}={(\frac{1}{3})^b}$,如图所示:即可判断出正误;
⑤定义域为R的函数y=f(x):则点(-x,f(-x))关于点(1,1)对称的点为(2+x,f(2+x)),由于满足f(-x)+f(x+2)=2,即可判断出函数f(x)的图象的对称性.

解答 解:①令2x+$\frac{π}{3}$=$kπ+\frac{π}{2}$,解得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$,令k=-1,可得x=$-\frac{5π}{12}$,因此函数$f(x)=4cos(2x+\frac{π}{3})$的一个对称中心为$(-\frac{5}{12}π,0)$,正确;
②f(x)=min{sinx,cosx},画出一个周期的图象,则f(x)的值域为$[-1,\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$,正确;
③若α,β均为第一象限角,且α>β,则sinα>sinβ,不正确,举反例:$α=2π+\frac{π}{6}$,$β=\frac{π}{3}$;
④若${(\frac{1}{2})^a}={(\frac{1}{3})^b}$,如图所示:
则a>b>0,或a=b=0,或 a<b<0,因此不正确;
⑤定义域为R的函数y=f(x):则点(-x,f(-x))关于点(1,1)对称的点为
(2+x,f(2+x)),由于满足f(-x)+f(x+2)=2,因此其图象关于点(1,1)对称,正确.
其中正确命题的序号是①②⑤.
故答案为:①②⑤.

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、指数函数的图象与单调性、函数对称性、简易逻辑的判定方法,考查了数形结合思想方法、推理能力与计算能力,属于中档题.

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