题目内容
如图，正三棱柱
的底面边长是
，侧棱长是
，
是
的中点．
（1）求证：
∥平面
；
（2）求二面角
的大小；
（3）在线段
上是否存在一点
，使得平面
平面，若存在，求出
的长；若不存在，说明理由.
（1）详见解析，（2）
，（3）
.
解析试题分析：（1）线面平行判定定理，关键找线线平行.利用三角形中位线性质找平行，取
的中点
，则
是三角形
的中位线，即∥．应用定理证明时，需写出定理所需条件.（2）利用空间向量求二面角的大小，关键求出平面的法向量.平面
的一个法向量为
,而平面的法向量则需列方程组解出.根据向量的数量积求出两向量夹角，再根据向量夹角与二面角的大小关系，求出结果.一般根据图像判定所求二面角是锐角还是钝角.（3）存在性问题，从假定存在出发，利用面面垂直列等量关系.在（2）中已求出平面的法向量，因此只需用点坐标表示平面的法向量即可.解题结果需注意点在线段上这一限制条件.
试题解析：
（1）证明：连结
交于，连结
，
因为三棱柱是正三棱柱，
所以四边形
是矩形，
所以为的中点．
因为是的中点，
所以是三角形的中位线， 2分
所以∥． 3分
因为
平面，
平面，
所以∥平面． 4分
（2）解：作
于
，所以
平面
，
所以在正三棱柱中如图建立空间直角坐标系
．
因为
，
，是的中点．
所以
，
，
，
， 5分
所以
，
，
．
设
是平面的法向量，
所以
即
令
，则
，
，
所以
是平面的一个法向量． 6分
由题意可知
是平面
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目
中，
，
为
中点，
上一点，且
.
时，求证：
平面
；
与平面
所成的角为
，求
的值.
？，若存在,求出AM的长，若不存在，说明理由
关于直线
对称，
．把
沿
折起（如图二），使二面角
的余弦值等于
．对于图二，完成以下各小题：
两点间的距离；
平面
；
所成角的正弦值．
中，底面
是矩形，
，
，
，
是棱
的中点.
平面
；
平面
上是否存在一点
，使得平面
平面
？若存在，求出
的值；若不存在，说明理由.
中,
,
，求：
与
所成角的余弦值； 
的距离．
上，B1E=3EC1，AC＝BC＝CC1＝4.
BC.