Question

已知函数f（x）=2^x+1定义在R上．
（1）若f（x）可以表示为一个偶函数g（x）与一个奇函数h（x）之和，求函数g（x），h（x）的解析式；
（2）若F（x）=g（2x）+2mh（x）+m²-m-1（m∈R），设h（x）=t，把F（x）表示为t的函数p（t）；
（3）若关于x的方程F（x）=m²-m+2在x∈[1，2]上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先假设满足条件，利用奇（偶）函数的关系式和方程思想，求出两个函数的解析式，再由条件证明对应函数的奇偶性，最后把函数f（x）的解析式代入求解；
（2）把2x-

1

2x

=t两边平方后整体代入g（2x）进行化简，再代入函数F（x）解析式进行化简；
（3）根据h（x）在所给区间上的单调性，求出t的范围，由（2）求出的解析式对F（x）=m²-m+2进出化简，求出m关于t的关系式，再由t的范围和函数的单调性，求出对应函数的值域，即m的取值范围．

解答：解：（1）假设f（x）=g（x）+h（x）①，其中g（x）偶函数，h（x）为奇函数，
则有f（-x）=g（-x）+h（-x），即f（-x）=g（x）-h（x）②，
由①、②解得g(x)=

f(x)+f(-x)

2

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

．（2分）
∵f（x）定义在R上，∴g（x），h（x）都定义在R上．
∵g(-x)=

f(-x)+f(x)

2

=g(x)，h(-x)=

f(-x)-f(x)

2

=-h(x)．
∴g（x）是偶函数，h（x）是奇函数，
把f（x）=2^x+1代入求得，g(x)=

f(x)+f(-x)

2

=

2x+1+2-x+1

2

=2x+

1

2x

，h(x)=

f(x)-f(-x)

2

=

2x+1-2-x+1

2

=2x-

1

2x

．（6分）
（2）由2x-

1

2x

=t，则t∈R，平方得t2=(2x-

1

2x

)2=22x+

1

22x

-2，
∴g(2x)=22x+

1

22x

=t2+2，代入F（x）的解析式得，
p（t）=t²+2mt+m²-m+1．（10分）
（3）∵t=h（x）=2x-

1

2x

在区间[1，2]上单调递增，∴

3

2

≤t≤

15

4

．（12分）
由F（x）=m²-m+2得t²+2mt-1=0
∴m=

1

2

(

1

t

-t)，令?（t）=

1

2

(

1

t

-t)(t∈[

3

2

，

15

4

])
由题意得，m的取值范围就是函数?（t）的值域．（14分）
∵

1

t

，-t在t∈[

3

2

，

15

4

]上均为减函数，
故?（t）在t∈[

3

2

，

15

4

]上单调递减，而?(

3

2

)=-

5

12

?(

15

4

)=-

209

120

，
∴函数?（t）的值域为[-

209

120

，-

5

12

]
即m的取值范围为[-

209

120

，-

5

12

]（16分）

点评：本题是有关函数奇偶性和单调性应用的综合题，利用函数奇偶性的关系式列出方程求出两个函数的解析式，求函数的值域主要利用函数在区间上的单调性进行求解，考查了分析问题和解决问题的能力．