Question

已知数列{an}的前n项和为Sn，设an是Sn与2的等差中项，数列{bn}中，b1＝1，bn＋1＝bn＋2.

(1)求an，bn；

(2)若数列{bn}的前n项和为Bn，比较＋＋…＋与2的大小；

(3)令Tn＝＋＋…＋，是否存在正整数M，使得Tn<M对一切正整数n都成立？若存在，求出M的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)由题意2an＝Sn＋2，∴Sn＝2an－2，Sn＋1＝2an＋1－2，∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，

即an＋1＝2an，又2a1＝S1＋2＝a1＋2，∴a1＝2，∴an＝2n.∵b1＝1，bn＋1＝bn＋2，∴bn＝2n－1.

(2)Bn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.＋＋…＋＝＋＋…＋<1＋＋＋…＋＝1＋＋＋…＋＝2－<2.

(3)Tn＝＋＋…＋，∴Tn＝＋＋…＋，两式相减，得Tn＝＋2－＝＋2×－,∴Tn＝3－－<3.又T1＝，Tn单调递增，∴Tn∈.∴M的最小值为3.