Question

19．全集I={x|x²+x+2＞0}，集合A={x||x-2|＜a，a＞0}，B={x|x²-6x+8＞0}，试问是否存在实数a，使A∪B=I；若存在，求a的取值；若不存，请说明理由．

Answer 1

分析 求解二次不等式和绝对值的不等式化简集合I、A、B，由A∪B=I结合集合集合端点值间的关系列不等式组得答案．

解答 解：I={x|x²+x+2＞0}=R，
A={x||x-2|＜a，a＞0}={x|2-a＜x＜a+2}，
B={x|x²-6x+8＞0}={x|x＜2或x＞4}．
若A∪B=I，则$\left\{\begin{array}{l}{2-a＜2}\\{a+2＞4}\end{array}\right.$，即a＞2．
∴存在实数a＞2，使得A∪B=I．

点评 本题考查交集及其运算，关键是明确集合端点值间的关系，是基础题．