Question

18．观察下列式子：1+$\frac{1}{{2}^{2}}$＜$\frac{3}{2}$，1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$＜$\frac{5}{3}$，1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$$\frac{1}{{4}^{2}}$＜$\frac{7}{4}$，
（1）由此猜想一个一般性的结论，
（2）请证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据题意可猜想出1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{2n-1}{n}$；
（2）由$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，用放缩法和裂项法即可证明．

解答 解：（1）∵1+$\frac{1}{{2}^{2}}$＜$\frac{3}{2}$，1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$＜$\frac{5}{3}$，1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$$\frac{1}{{4}^{2}}$＜$\frac{7}{4}$，
∴一般性结论：1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{2n-1}{n}$
（2）∵n∈N*且n≥2，$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{（n-1）n}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，
∴1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$＜1+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=2-$\frac{1}{n}$=$\frac{2n-1}{n}$

点评 本题考查了归纳推理的问题，以及用放缩法和裂项法证明不等式，属于中档题．