Question

设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）若f（1）＞0，试求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集；
（2）若f（1）=

3

2

，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）是定义域为R的奇函数，可得k=1，从而f（x）=a^x-a^-x（a＞0，且a≠1），利用f（1）＞0，可得a＞1，从而可证f（x）在R上单调递增，故原不等式化为x²+2x＞4-x，从而可求不等式的解集；
（2）根据f（1）=

3

2

确定a=2的值，从而可得函数g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．令t=f（x）=2^x-2^-x，由（1）可知f（x）=2^x-2^-x为增函数，可得t≥f（1）=

3

2

，令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²　（t≥

3

2

），分类讨论，利用最小值为-2，可求m的值．

解答：解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，可k-1=0，即k=1，
故f（x）=a^x-a^-x（a＞0，且a≠1）
∵f（1）＞0，∴a-

1

a

＞0，又a＞0且a≠1，∴a＞1．
f′（x）=a^xlna+

lna

ax

∵a＞1，∴lna＞0，而a^x+

1

ax

＞0，
∴f′（x）＞0，∴f（x）在R上单调递增
原不等式化为：f（x²+2x）＞f（4-x），
∴x²+2x＞4-x，即x²+3x-4＞0
∴x＞1或x＜-4，
∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜-4}．
（2）∵f（1）=

3

2

，∴a-

1

a

=

3

2

，即2a²-3a-2=0，∴a=2或a=-

1

2

（舍去）．
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，由（1）可知f（x）=2^x-2^-x为增函数
∵x≥1，∴t≥f（1）=

3

2

，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m²　（t≥

3

2

）
若m≥

3

2

，当t=m时，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2
若m＜

3

2

，当t=

3

2

时，h（t）_min=

17

4

-3m=-2，
解得m=

25

12

＞

3

2

，舍去
综上可知m=2．

点评：本题考查函数单调性与奇偶性的综合，考查解不等式，考查二次函数最值的研究，解题的关键是确定函数的单调性，确定参数的范围．