题目内容
已知函数f（x）=log3（x2-2mx+2m2+
）的定义域为R．
（1）求实数m的取值集合M；
（2）求证：对m∈M所确定的所有函数f（x）中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2的m的值和x的值．
| 9 | m2-3 |
（1）求实数m的取值集合M；
（2）求证：对m∈M所确定的所有函数f（x）中，其函数值最小的一个是2，并求使函数值等于2的m的值和x的值．
分析：（1）将函数的定义域为R转化成x2-2mx+2m2+
＞0对任意的x∈R恒成立，然后利用判别式建立关系即可；
（2）利用基本不等式求出对数的真数的最小值，然后根据对数函数的单调性求出f（x）的最小值，从而建立关系式，解之即可求出所求．
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| m2-3 |
（2）利用基本不等式求出对数的真数的最小值，然后根据对数函数的单调性求出f（x）的最小值，从而建立关系式，解之即可求出所求．
解答：解：（1）由题意，有x2-2mx+2m2+
＞0对任意的x∈R恒成立
所以△=4m2-4（2m2+
）＜0
即-m2-
＜0
∴
＞0
由于分子恒大于0，只需m2-3＞0即可
所以m＜-
或m＞
∴M={m|m＜-
或m＞
}
（2）x2-2mx+2m2+
=（x-m）2+m2+
≥m2+
当且仅当x=m时等号成立．
所以，题设对数函数的真数的最小值为m2+
又因为以3为底的对数函数为增函数
∴f（x）≥log3（m2+
）
∴当且仅当x=m（m∈M）时，f（x）有最小值为log3（m2+
）
又当m∈M时，m2-3＞0
∴m2+
=m2-3+
+3≥2
+3=9
当且仅当m2-3=
，即m=±
时，
log3（m2+
）有最小值log3（6+
）=log39=2
∴当x=m=±
时，其函数有最小值2．
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| m2-3 |
所以△=4m2-4（2m2+
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| m2-3 |
即-m2-
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| m2-3 |
∴
(m2-
| ||
| m2-3 |
由于分子恒大于0，只需m2-3＞0即可
所以m＜-
| 3 |
| 3 |
∴M={m|m＜-
| 3 |
| 3 |
（2）x2-2mx+2m2+
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| m2-3 |
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| m2-3 |
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| m2-3 |
当且仅当x=m时等号成立．
所以，题设对数函数的真数的最小值为m2+
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| m2-3 |
又因为以3为底的对数函数为增函数
∴f（x）≥log3（m2+
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| m2-3 |
∴当且仅当x=m（m∈M）时，f（x）有最小值为log3（m2+
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| m2-3 |
又当m∈M时，m2-3＞0
∴m2+
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| m2-3 |
| 9 |
| m2-3 |
(m2-3)•
|
当且仅当m2-3=
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| m2-3 |
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log3（m2+
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| m2-3 |
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∴当x=m=±
| 6 |
点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及基本不等式的应用，同时考查了转化的思想和计算的能力，属于中档题．
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