题目内容
已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆的离心率是
，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和为4．
（1）求椭圆标准方程；
（2）设椭圆长轴的左端点为A，P是椭圆上且位于第一象限的任意一点，AB∥OP，点B在椭圆上，R为直线AB与y轴的交点，证明：
•
=2
2．
| ||
| 2 |
（1）求椭圆标准方程；
（2）设椭圆长轴的左端点为A，P是椭圆上且位于第一象限的任意一点，AB∥OP，点B在椭圆上，R为直线AB与y轴的交点，证明：
| AB |
| AR |
| OP |
分析：（1）由题意设出椭圆的标准方程，根据椭圆的离心率结合长轴长及c2=a2-b2即可求得答案；
（2）由椭圆方程求出A的坐标，设出P、B、R的坐标，由P和点B都在椭圆上得两点的坐标适合椭圆方程，再由AB∥OP得其斜率相等，列式得到P、B两点坐标的关系式，写出直线AB的方程，把R的坐标代入AB的方程得到B和R的坐标的关系式，然后运用坐标的关系分别表示出等式
•
=2
2的左右两边，从而问题得到证明．
（2）由椭圆方程求出A的坐标，设出P、B、R的坐标，由P和点B都在椭圆上得两点的坐标适合椭圆方程，再由AB∥OP得其斜率相等，列式得到P、B两点坐标的关系式，写出直线AB的方程，把R的坐标代入AB的方程得到B和R的坐标的关系式，然后运用坐标的关系分别表示出等式
| AB |
| AR |
| OP |
解答：（1）解：根据题设，可设椭圆标准方程为：
+
=1(a＞b＞0)
则离心率e=
=
，c2=a2-b2(c＞0)，由椭圆定义，得2a=4
解得a=2，b=1，c=
所以椭圆标准方程为：
+y2=1
（2）证明：由题意得A（-2，0），设P（x1，y1），B（x2，y2），R（0，y3），其中x1＞0，y1＞0，
点P和点B都在椭圆上，则有
+
=1①
+
=1②
由AB∥OP，有kOP=
=kAB=
，
即
=
③
由x1＞0，y1＞0可知x2≠-2．
AB直线方程为：y-0=kAB[x-（-2）]，即y=
(x+2)．
把R（0，y3）代入，得y3=
所以有
=(x2+2，y2)，
=(x2，y2)，
=(2，
)，
可得：
•
=2(x2+2)+
④
2|
|2=2(
+
)⑤
由①，②，③得：
=x2+2⑥
由①，⑤得：2|
|2=2(
+
)=2+
⑦
由②，④得：
•
=2(x2+2)+
=5+
x2⑧
由⑦，⑥得：2|
|2=2(
+
)=2+
=5+
x2⑨
由⑧，⑨可证得：
•
=2
2．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
则离心率e=
| c |
| a |
| ||
| 2 |
解得a=2，b=1，c=
| 3 |
所以椭圆标准方程为：
| x2 |
| 4 |
（2）证明：由题意得A（-2，0），设P（x1，y1），B（x2，y2），R（0，y3），其中x1＞0，y1＞0，
点P和点B都在椭圆上，则有
| ||
| 4 |
| y | 2 1 |
| ||
| 4 |
| y | 2 2 |
由AB∥OP，有kOP=
| y1-0 |
| x1-0 |
| y2-0 |
| x2-(-2) |
即
| y1 |
| x1 |
| y2 |
| x2+2 |
由x1＞0，y1＞0可知x2≠-2．
AB直线方程为：y-0=kAB[x-（-2）]，即y=
| y2 |
| x2+2 |
把R（0，y3）代入，得y3=
| 2y2 |
| x2+2 |
所以有
| AB |
| OP |
| AR |
| 2y2 |
| x2+2 |
可得：
| AB |
| AR |
2
| ||
| x2+2 |
2|
| OP |
| x | 2 1 |
| y | 2 1 |
由①，②，③得：
| x | 2 1 |
由①，⑤得：2|
| OP |
| x | 2 1 |
| y | 2 1 |
| 3 |
| 2 |
| x | 2 1 |
由②，④得：
| AB |
| AR |
2
| ||
| x2+2 |
| 3 |
| 2 |
由⑦，⑥得：2|
| OP |
| x | 2 1 |
| y | 2 1 |
| 3 |
| 2 |
| x | 2 1 |
| 3 |
| 2 |
由⑧，⑨可证得：
| AB |
| AR |
| OP |
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，训练了代值思想方法，解答此题的关键是在设出点的坐标后能找到各坐标之间的关系，要求考生具备较强的运算推理的能力，是难题．
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