Question

已知函数f（x）=ax²+4x-2，若对任意x₁，x₂∈R且x₁≠x₂，都有．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）（理）对于给定的非零实数a，求最小的负数M（a），使得x∈[M（a），0]时，-4≤f（x）≤4都成立；
（Ⅲ）（理）在（Ⅱ）的条件下，当a为何值时，M（a）最小，并求出M（a）的最小值．
（Ⅱ）（文）求最小的实数b，使得x∈[b，1]时，f（x）≥-2都成立；
（Ⅲ）（文）若存在实数a，使得x∈[b，1]时，-2≤f（x）≤3b都成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵
=
=，
∵x₁≠x₂，
∴a≥0．
∴实数a的取值范围为[0，+∞）．
（Ⅱ）（理）∵，
显然f（0）=-2，对称轴．
（1）当，即0＜a＜2时，，且f[M（a）]=-4．
令ax²+4x-2=-4，解得，
此时M（a）取较大的根，即，
（2）当，即a≥2时，，且f[M（a）]=4．
令ax²+4x-2=4，解得，
此时M（a）取较小的根，即，
（Ⅲ）（理） 由（2）知，
当0＜a＜2，． 此时 M（a）＞-1
当a≥2，． 此时 M（a）≥-3（当且仅当a=2时，取等号）
∵-3＜-1，
∴当a=2时，M（a）取得最小值-3．
（Ⅱ）（文）∵f（0）=-2
由x∈[b，1]时，f（x）≥-2都成立
∴b≥0
∴b的最小值为0
（Ⅲ）（文）由（Ⅱ）知 b≥0
∴f（x）在[b，1]上为增函数，
∴f（1）≤3b
即：a+4-2≤3b
又 由（Ⅰ）a≥0
∴
分析：（I）由已知中函数f（x）=ax²+4x-2，我们求出的解析式，并根据判断其符号，即可得到实数a的取值范围；
（Ⅱ）（理）由已知中函数f（x）=ax²+4x-2的解析式，结合（I）的结论，我们可得对称轴，我们分和，两种情况进行分类讨论，最后综合讨论结果，即可得到答案．
（III）（理）由（2）知，当0＜a＜2，． 当a≥2，． 我们根据分段函数分段处理的原则，分别求出各段上函数的最小值，即可得到，M（a）的最小值-3．
（II）（文）由已知中当x∈[b，1]时，f（x）≥-2都成立，结合f（0）=-2，易得b≥0，进而得到b的最小值；
（Ⅲ）（文）由（Ⅱ）中的结论可知b≥0，进而可以判断出函数f（x）在区间[b，1]上为增函数，进而根据x∈[b，1]时，-2≤f（x）≤3b都成立，构造关于b的不等式，解不等式，即可得到实数b的取值范围．
点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，一元二次方程的根的分布与系数的关系，分段函数的最小值，函数恒成立问题，其中（I）的关键是根据实数的性质，判断出实数a的取值范围，理科（II）的关键是根据函数f（x）=ax²+4x-2的对称轴，确定分类标准，（III）的关键是根据分段函数分段处理的原则，得到分段函数的最值，而文科（II）（III）的关键是根据已知条件构造关于b的不等式．