题目内容
【题目】如图甲,已知矩形中,
为
上一点,且
,垂足为
,现将矩形
沿对角线
折起,得到如图乙所示的三棱锥
.
(Ⅰ)在图乙中,若,求
的长度;
(Ⅱ)当二面角等于
时,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)(2)余弦值为
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)当时,由线面垂直的判定定理,可得
平面
,所以
,由勾股定理求出BH的长度;(Ⅱ)以
为坐标原点,
为
轴,
为
轴,垂直于平面
的方向为
轴建系,可得平面ADC的法向量为
,由当二面角
等于
,求出点B,C,H三点的坐标,假设平面
的法向量
,由
,求出
,根据两向量的夹角公式,求出二面角
的余弦值.
试题解析:(Ⅰ)由,可得折叠后
平面
,
所以,又
,所以
平面
,所以
,
解得,
,由勾股定理,
.
(Ⅱ)如图,以为坐标原点,
为
轴,
为
轴,垂直于平面
的方向为
轴建系,
可得平面的法向量为
,
即有,再由二面角
等于
,
可得点坐标为
,
所以,
设平面的法向量
,
则
,
所以,
由横坐标大于
横坐标,
所以二面角为钝角,所以余弦值为
.
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