题目内容
20．计算log5$\underset{\underbrace{\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{…\sqrt{5}}}}}}{n个}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．分析 先把根式$\underset{\underbrace{\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{…\sqrt{5}}}}}}{n个}$化为分数指数幂，再求对数的值．
解答 解：∵$\underset{\underbrace{\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{…\sqrt{5}}}}}}{n个}$=$\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{..5{．}^{\frac{1}{2}}}}}$
=$\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{..5{．}^{\frac{3}{4}}}}}$
=$\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{..5{．}^{\frac{7}{8}}}}}$
=…=${5}^{\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}}$；
∴log5$\underset{\underbrace{\sqrt{5\sqrt{5\sqrt{…\sqrt{5}}}}}}{n个}$=log5${5}^{\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}}$
=$\frac{{2}^{n}-1}{{2}^{n}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
故答案为：1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．
点评 本题考查了根式化为分数指数幂的运算问题，也考查了对数的运算问题，是基础题目．
练习册系列答案
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10．已知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（3-a）x-a，x≤1}\\{lo{g}_{a}x，x＞1}\end{array}\right.$是（-∞，+∞）上是增函数，那么实数a的取值范围是（ ）
| A． | （1，+∞） | B． | （$\frac{3}{2}$，3） | C． | [$\frac{3}{2}$，3） | D． | （1，3） |