题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)曲线在点
处的切线平行于
轴,求实数
的值;
(2)记.
(i)讨论的单调性;
(ii)若,
为
在
上的最小值,求证:
.
【答案】(1);(2)(i)①若
,
,
在
单调递增;②若
或
,当
时,
;当
时,
;所以
在
单调递减,在
,
单调递增;(ii)见解析.
【解析】试题分析:(1)先求得,
,由
在
处的切线平行于
轴,得
,从而可得实数
的值;(2)(i)求出
,分两种情况讨论
的范围,分别令
求得
的范围,可得函数
增区间,
求得
的范围,可得函数
的减区间;(ii)若
,
在
单调递减,在
单调递增.
,令
,利用导数研究函数的单调性,只需证明
的最大值小于零即可.
试题解析:(1),
,
因为在
处的切线平行于
轴,所以
,所以
;
(2),
(i)
,
若,即
时,则由
得
,当
时,
;
当时,
;
所以在
单调递减,在
单调递增.
若,则由
,得
或
,构造函数
(
),
则,由
,得
,
所以在
单调递减,在
单调递增,
,
所以(当且仅当
时等号成立).
①若,
,
在
单调递增;
②若或
,
当时,
;当
时,
;
所以在
单调递减,在
,
单调递增.
(ii)若,
在
单调递减,在
单调递增.
,令
,则
,
令,
,
在
单调递减,
,
,所以存在唯一的
使得
,
所以在
单调递增,在
单调递减,故当
时,
,
又,所以
,
所以当时,
.
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