题目内容
【题目】已知数列
满足
， 
，其中
， 
， 
为非零常数.
（1）若
， 
，求证： 
为等比数列，并求数列
的通项公式；
（2）若数列
是公差不等于零的等差数列.
①求实数
， 
的值；
②数列
的前
项和
构成数列
，从
中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问：是否存在首项为
的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）①
， 
， 
.②
， 
， 
【解析】试题分析：（1）利用等比数列定义证明，即寻找
与
比例关系：利用
代入化简可得
.最后说明各项非零.（2）①令
，2，3，根据等差数列性质得
，列出关于
， 
的二元一次方程组，解得
， 
的值；再验证满足题意. ②先求数列
的前
项和
，再讨论四项奇偶性：三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.将奇偶性代入化简讨论，直至确定.
试题解析：解：（1）当
， 
时， 
，
.
又
，不然
，这与
矛盾，
为2为首项，3为公比的等比数列，
， 
.
（2）①设
，
由
得
，
，
对任意
恒成立.
令
，2，3，解得， 
， 
， 
.
经检验，满足题意.
综上， 
， 
， 
.
②由①知
.
设存在这样满足条件的四元子列，观察到2017为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数.
1°若三个奇数一个偶数，设
， 
， 
， 
是满足条件的四项，
则
，
，这与1007为奇数矛盾，不合题意舍去.
2°若一个奇数三个偶数，设
， 
， 
， 
是满足条件的四项，
则
， 
.
由504为偶数知， 
， 
， 
中一个偶数两个奇数或者三个偶数.
1）若
， 
， 
中一个偶数两个奇数，不妨设
， 
， 
，
则
，这与251为奇数矛盾.
2）若
， 
， 
均为偶数，不妨设
， 
， 
，
则
，继续奇偶分析知
， 
， 
中两奇数一个偶数，
不妨设
， 
， 
，则
.
因为
， 
均为偶数，所以
为奇数，不妨设
，
当
时， 
， 
，检验得
， 
， 
，
当
时， 
， 
，检验得
， 
， 
，
当
时， 
， 
，检验得
， 
， 
，
即
， 
， 
， 
或者
， 
， 
， 
或者
， 
， 
， 
满足条件，
综上所述， 
， 
， 
为全部满足条件的四元子列.
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