题目内容

(2011•江西模拟)如图,已知A是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上的一个动点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,弦AB过点F2,当AB⊥x轴时,恰好有|AF1|=3|AF2|.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设P是椭圆的左顶点,PA,PB分别与椭圆右准线交与M,N两点,求证:以MN为直径的圆D一定经过一定点,并求出定点坐标.
分析:(1)由已知中AB⊥x轴时恰有|AF1|=3|AF2|.结合椭圆的定义,可得
|AF1|=3|AF2|
|AF1|+|AF2|=2a
|AF1|2-|AF2|2=4c2
,进而求出椭圆的离心率;
(2)由(1)可设椭圆方程为x2+2y2=2b2,其右准线方程为x=2b,分AB⊥x轴时和AB斜率存在时两种情况分别判断F2与MN为直径的圆D的关系,即可得到答案.
解答:解:(1)由条件可得
|AF1|=3|AF2|
|AF1|+|AF2|=2a
|AF1|2-|AF2|2=4c2

解得e=
2
2
….(3分)
证明:(2)由(1)可设椭圆方程为x2+2y2=2b2,其右准线方程为x=2b,P(-
2
b,0)

①当AB⊥x轴时,易得A(b,
2
2
b),B(b,-
2
2
b)

由三点共线可得M(2b,b),N(2b,-b)
则圆D的方程为(x-2b)(x-2b)+(y-b)(y+b)=0,
即(x-2b)2+y2=b2
易得圆过定点F2(b,0)…(6分)
②当AB斜率存在时,设其方程为y=kx-kb,M(x1,y1),N(x2,y2),
把直线方程代入椭圆方程得:(1+2k2)x2-4k2bx+(2k2-2)b2=0∴x1+x2=
4k2b
1+2k2
x1x2=
(2k2-2)b2
1+2k2
y1y2=k2[x1x2-b(x1+x2)+b2]=…=-
k2b2
1+2k2

故直线AP的方程为y=
y1
x1+
2
b
(x+
2
b)

令x=2b得M(2b,
(2+
2
)by1
x1+
2
b
)
,同理可得N(2b,
(2+
2
)by2
x2+
2
b
)
…(9分)
F2M
F2N
=(b
(2+
2
)by1
x1+
2
b
)
(b,
(2+
2
)by2
x2+
2
b
)=b2+
(2+
2
)
2
b2y1y2
(x1+
2
b)(x2+
2
b)
=…=b2+
(6+4
2
)b2•(-
k2b2
1+2k2
)
(2k2-2)b2+4
2
k2b2+2b2
1+2k2
+2b2
=…=b2-b2=0

所以F2在以MN为直径的圆D上,
综上,以MN为直径的圆D一定经过定点F2(b,0)….(13分)
点评:本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合应用,椭圆的性质,圆的标准方程,综合性强,难度较大.
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