题目内容

x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(1)求椭圆的离心率;
(2)设P是椭圆的左顶点,PA,PB分别与椭圆右准线交与M,N两点,求证:以MN为直径的圆D一定经过一定点,并求出定点坐标.
分析:(1)由已知中AB⊥x轴时恰有|AF1|=3|AF2|.结合椭圆的定义,可得
,进而求出椭圆的离心率;
(2)由(1)可设椭圆方程为x2+2y2=2b2,其右准线方程为x=2b,分AB⊥x轴时和AB斜率存在时两种情况分别判断F2与MN为直径的圆D的关系,即可得到答案.
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(2)由(1)可设椭圆方程为x2+2y2=2b2,其右准线方程为x=2b,分AB⊥x轴时和AB斜率存在时两种情况分别判断F2与MN为直径的圆D的关系,即可得到答案.
解答:解:(1)由条件可得
,
解得e=
….(3分)
证明:(2)由(1)可设椭圆方程为x2+2y2=2b2,其右准线方程为x=2b,P(-
b,0)
①当AB⊥x轴时,易得A(b,
b),B(b,-
b),
由三点共线可得M(2b,b),N(2b,-b)
则圆D的方程为(x-2b)(x-2b)+(y-b)(y+b)=0,
即(x-2b)2+y2=b2
易得圆过定点F2(b,0)…(6分)
②当AB斜率存在时,设其方程为y=kx-kb,M(x1,y1),N(x2,y2),
把直线方程代入椭圆方程得:(1+2k2)x2-4k2bx+(2k2-2)b2=0∴x1+x2=
,x1x2=
y1y2=k2[x1x2-b(x1+x2)+b2]=…=-
,
故直线AP的方程为y=
(x+
b),
令x=2b得M(2b,
),同理可得N(2b,
)…(9分)
∴
•
=(b,
)•(b,
)=b2+
=…=b2+
=…=b2-b2=0
所以F2在以MN为直径的圆D上,
综上,以MN为直径的圆D一定经过定点F2(b,0)….(13分)
|
解得e=
| ||
2 |
证明:(2)由(1)可设椭圆方程为x2+2y2=2b2,其右准线方程为x=2b,P(-
2 |
①当AB⊥x轴时,易得A(b,
| ||
2 |
| ||
2 |
由三点共线可得M(2b,b),N(2b,-b)
则圆D的方程为(x-2b)(x-2b)+(y-b)(y+b)=0,
即(x-2b)2+y2=b2
易得圆过定点F2(b,0)…(6分)
②当AB斜率存在时,设其方程为y=kx-kb,M(x1,y1),N(x2,y2),
把直线方程代入椭圆方程得:(1+2k2)x2-4k2bx+(2k2-2)b2=0∴x1+x2=
4k2b |
1+2k2 |
(2k2-2)b2 |
1+2k2 |
k2b2 |
1+2k2 |
故直线AP的方程为y=
y1 | ||
x1+
|
2 |
令x=2b得M(2b,
(2+
| ||
x1+
|
(2+
| ||
x2+
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∴
F2M |
F2N |
(2+
| ||
x1+
|
(2+
| ||
x2+
|
(2+
| ||||
(x1+
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(6+4
| ||||
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所以F2在以MN为直径的圆D上,
综上,以MN为直径的圆D一定经过定点F2(b,0)….(13分)
点评:本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的综合应用,椭圆的性质,圆的标准方程,综合性强,难度较大.

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