题目内容

(2011•江西模拟)已知数列{an}满足an+1=
2an
an+2
(n∈N*),a2011=
1
2011

(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=
4
an
-4023
cn=
b
2
n+1
+
b
2
n
2bn+1bn
(n∈N*)
,求证:c1+c2+…+cn<n+1.
分析:(1)由已知,得
1
an+1
-
1
an
=
1
2
 (n∈N*)
,从而数列{
1
an
}
是以
1
a1
为首项,
1
2
为公差的等差数列,然后表示出{an}的通项公式,根据a2011=
1
2011
可求出a1,从而求出{an}的通项公式;
(2)将an=
2
n+2011
代入可得bn=4×
n+2011
2
-4023=2n-1
然后求出cn,然后计算c1+c2+…+cn-n,经过化简可证得结论.
解答:解:(1)由已知,得
1
an+1
=
1
2
+
1
an
,即
1
an+1
-
1
an
=
1
2
 (n∈N*)

∴数列{
1
an
}
是以
1
a1
为首项,
1
2
为公差的等差数列.
1
an
=
1
a1
+(n-1)×
1
2
=
(n-1)a1+2
2a1

an=
2a1
(n-1)a1+2
…(4分)
又因为a2011=
2a1
2010a1+2
=
1
2011

解得a1=
1
1006

an=
1
1006
(n-1)×
1
1006
+2
=
2
n+2011
…(6分)
(2)证明:∵an=
2
n+2011

bn=4×
n+2011
2
-4023=2n-1
-------(7分)
cn=
b
2
n+1
+
b
2
n
2bn+1bn
=
(2n+1)2+(2n-1)2
2(2n+1)(2n-1)
=
4n2+1
4n2-1
=1+
2
(2n-1)(2n+1)
=1+
1
2n-1
-
1
2n+1

c1+c2+…cn-n=(1+1-
1
3
)+(1+
1
3
-
1
5
)+…+(1+
1
2n-1
-
1
2n+1
)-n=1-
1
2n+1
<1

故c1+c2+…+cn<n+1…(12分)
点评:本题主要考查了构造新数列,以及等差数列的通项公式和数列的裂项求和法,同时考查了计算能力,属于中档题.
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