Question

已知点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂）．…都在函数的图象上．
（1）若数列{b_n}是等差数列，求证数列{a_n}是等比数列；
（2）若数列{a_n}的前n项和是，过点P_n，P_n+1的值线与两坐标轴所围三角形面积为c_n，求最小的实数t使c_n≤t对n∈N^*恒成立；
（3）若数列{b_n}为由（2）中{a_n}得到的数列，在b_k与b_k+1之间插入3^k-1（k∈N^*）个3，得一新数列{d_n}，问是否存在这样的正整数m，使数列{d_n}的前m项的和S_m=2008，如果存在，求出m的值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用数列{b_n}是等差数列，结合等比数列的定义，即可证明数列{a_n}是等比数列；
（2）先确定数列{a_n}的通项公式，再求数列{b_n}的通项公式，进而可得直线方程，由此可求数列{c_n}的通项，利用各项依次单调递减，可求最小的实数t；
（3）求出数列{d_n}中，b_k（含b_k项）前的所有项的和，由此可求m的值．
解答：（1）证明：数列{b_n}是等差数列，设公差为d，则b_n+1-b_n=d对n∈N^*恒成立，…（1分）
依题意，，…（2分）
所以是定值，…（3分）
从而数列{a_n}是等比数列．                                 …（4分）
（2）解：当n=1时，，当n≥2时，，n=1也适合此式，
即数列{a_n}的通项公式是．                        …（5分）
由，可得数列{b_n}的通项公式是b_n=n，…（6分）
所以，．
过这两点的直线方程是：，可得与坐标轴的交点是和B_n（0，n+2）．…（7分）
∴，…（8分）
由于=…（9分）
即数列{c_n}的各项依次单调递减，所以．                 …（10分）
（3）解：数列{d_n}中，b_k（含b_k项）前的所有项的和是（1+2+…+k）+（3¹+3²+…+3^k-1）=…（11分）
当k=7时，其和是，…（12分）
当k=8时，其和是，
又因为2008-1120=888=296×3，是3的倍数，故存在这样的m，使得S_m=2008，…（13分）
此时m=7+（1+3+3²+…+3⁵）+296=667．                 …（14分）
点评：本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和、对数的运算、直线方程与不等式等知识，考查化归、转化、方程的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力、创新能力和综合应用能力．