Question

（2013•许昌三模）有下列四个命题：
①函数y=x+

1

4x

（x≠0）的值域是[1，+∞）；
②平面内的动点P到点F（-2，3）和到直线l：2x+y+1=0的距离相等，则P的轨迹是抛物线；
③直线AB与平面α相交于点B，且AB与α内相交于点C的三条互不重合的直线CB、CE、CF所成的角相等，则AB⊥α；
④若f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），则f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]．
其中正确的命题的编号是

③④

．

Answer 1

分析：①利用基本不等式证明．②利用抛物线的定义判断．③利用线面垂直的判定定理或性质定理判断．④利用凸凹函数的性质判断．

解答：解：①当x＞0时，y=x+

1

4x

≥2

x? 1 4x

=1，
当x＜0时，y=x+

1

4x

=-[(-x)+

1

-4x

]≤-2

(-x)? 1 -4x

=-1，
所以函数的值域是[1，+∞）∪（-∞，-1]，所以①错误．
②因为点F（-2，3）在直线2x+y+1=0，所以点P的轨迹不是抛物线，是过点F且垂直于直线l的直线．所以②错误．
③若AB不垂直α，当AB与直线CB、CE、CF所成的角相等，则必有CB∥CE/CF，与直线CB、CE、CF互不重合，矛盾，
所以假设不成立，所以必有AB⊥α．所以③正确．
④因为满足f（

x1+x2

2

）≤

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]的函数为凹函数，所以二次函数是凹函数，所以④正确．
故正确的命题的编号是③④．
故答案为：③④．

点评：本题主要考查了命题的真假判断，综合性较强．要求对相关知识要熟练理解和掌握．