题目内容
（2013•许昌三模）已知f（x）=x3+ax2-a2x+2．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；
（Ⅱ）若a≠0 求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．
（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；
（Ⅱ）若a≠0 求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围．
分析：（Ⅰ）求出切点坐标，斜率k，k=f′（1），用点斜式即可求出方程；
（Ⅱ）解含参的不等式：f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（Ⅲ）分离出参数a后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域．
（Ⅱ）解含参的不等式：f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；
（Ⅲ）分离出参数a后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域．
解答：解：（Ⅰ）∵a=1，∴f（x）=x3+x2-x+2，
∴f′（x）=3x2+2x-1，∴k=f′（1）=4，又f（1）=3，所有切点坐标为（1，3）．
∴所求切线方程为y-3=4（x-1），即4x-y-1=0．
（Ⅱ）f′（x）=3x2+2ax-a2=（x+a）（3x-a）由f′（x）=0，得x=-a或x=
．
（1）当a＞0时，由f′（x）＜0，得-a＜x＜
；由f′（x）＞0，得x＜-a或x＞
，
此时f（x）的单调递减区间为（-a，
），单调递增区间为（-∞，-a）和（
，+∞）．
（2）当a＜0时，由f′（x）＜0，得
＜x＜-a；由f′（x）＞0，得x＜
或x＞-a．
此时f（x）的单调递减区间为（
，-a），单调递增区间为（-∞，
）和（-a，+∞）．
综上：当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（-a，
），单调递增区间为（-∞，-a）和（
，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调递减区间为（
，-a），单调递增区间为（-∞，
）和（-a，+∞）．
（Ⅲ）依题意x∈（0，+∞），不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，
等价于2xlnx≤3x2+2ax+1在（0，+∞）上恒成立，可得a≥lnx-
x-
在（0，+∞）上恒成立，
设h（x）=lnx-
-
，则h′（x）=
-
+
=-
．
令h′（x）=0，得x=1，x=-
（舍），当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，
当x变化时，h′（x），h（x）变化情况如下表：
∴当x=1时，h（x）取得最大值，h（x）max=-2，∴a≥-2．
∴a的取值范围是[-2，+∞）．
∴f′（x）=3x2+2x-1，∴k=f′（1）=4，又f（1）=3，所有切点坐标为（1，3）．
∴所求切线方程为y-3=4（x-1），即4x-y-1=0．
（Ⅱ）f′（x）=3x2+2ax-a2=（x+a）（3x-a）由f′（x）=0，得x=-a或x=
| a |
| 3 |
（1）当a＞0时，由f′（x）＜0，得-a＜x＜
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
此时f（x）的单调递减区间为（-a，
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
（2）当a＜0时，由f′（x）＜0，得
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
此时f（x）的单调递减区间为（
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
综上：当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（-a，
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
当a＜0时，f（x）的单调递减区间为（
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
（Ⅲ）依题意x∈（0，+∞），不等式2xlnx≤f′（x）+a2+1恒成立，
等价于2xlnx≤3x2+2ax+1在（0，+∞）上恒成立，可得a≥lnx-
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2x |
设h（x）=lnx-
| 3x |
| 2 |
| 1 |
| 2x |
| 1 |
| x |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2x2 |
| (x-1)(3x+1) |
| 2x2 |
令h′（x）=0，得x=1，x=-
| 1 |
| 3 |
当x变化时，h′（x），h（x）变化情况如下表：
| x | （0，1） | 1 | （1，+∞） |
| h′（x） | + | 0 | - |
| h（x） | 单调递增 | -2 | 单调递减 |
∴a的取值范围是[-2，+∞）．
点评：本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题，不等式恒成立常转化为函数最值问题解决．
练习册系列答案
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