题目内容
四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，∠SCD=90°，∠SBC=90°，二面角S-CD-B为60°，且AB=SC=4．（1）求证：平面SAB⊥平面ABCD；
（2）求三棱锥C-ASD的高（即以△SAD为底的三棱锥的高）．
分析：（1）由已知中四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形，∠SCD=90°，∠SBC=90°，二面角S-CD-B为60°，我们易得SCB为二面角S-CD-B的平面角，SB⊥平面ABCD，进而根据面面垂直的判定定理，即可得到平面SAB⊥平面ABCD
（2）连接AC，由（1）的结论，我们可以得到AD⊥平面SAB，即三棱锥C-ASD可以看作AD为高，三角形DAC为底，求出底面积及高，代入棱锥体积公式，即可得到答案．
（2）连接AC，由（1）的结论，我们可以得到AD⊥平面SAB，即三棱锥C-ASD可以看作AD为高，三角形DAC为底，求出底面积及高，代入棱锥体积公式，即可得到答案．
解答：解：（1）证明：∵DC⊥BCDC⊥SC∴DC⊥平面SCB
∴DC⊥SB且∠SCB为二面角S-CD-B的平面角，则∠SCB=60°
又∵SB⊥BC∴SB⊥平面ABCD
又∵SB?平面SAB∴平面SAB⊥平面ABCD
（2）连接AC
∵SB⊥平面ABCD∴SB⊥AD又AD⊥AB
∴AD⊥平面SAB∴AD⊥SA
在Rt△ASD1中AS=
=
=2
，AD=BC=2
由VC-SAD=VS-ACD∴AD×AS•h=AD×CD×SB
∴h=
∴三棱锥C-ASD的高为
∵DC⊥BCDC⊥SC∴DC⊥平面SCB∴DC⊥SB且∠SCB为二面角S-CD-B的平面角，则∠SCB=60°
又∵SB⊥BC∴SB⊥平面ABCD
又∵SB?平面SAB∴平面SAB⊥平面ABCD
（2）连接AC
∵SB⊥平面ABCD∴SB⊥AD又AD⊥AB
∴AD⊥平面SAB∴AD⊥SA
在Rt△ASD1中AS=
| AB2+SB2 |
42+(2
|
| 7 |
由VC-SAD=VS-ACD∴AD×AS•h=AD×CD×SB
∴h=
4
| ||
| 7 |
4
| ||
| 7 |
点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中熟练掌握空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直之间的互相转换，是解答本题的关键．
练习册系列答案
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