题目内容

设函数f（x）=x²+2lnx，用f′（x）表示f（x）的导函数， $数学公式$ ，其中m∈R，且m＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x₁、 $数学公式$ 都有f′（x₁）≤g′（x₂）成立，求m实数的取值范围；
（3）试证明：对任意正数a和正整数n，不等式[f′（a）]ⁿ-2^n-1f′（aⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）．

解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）
f′（x）=2x+ $\text{[math]}$
∴f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立
故f（x）的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间．
（2）据题意，问题转化为f′（x）最大值≤g′（x）的最小值
令∅（x）=f′（x）
∵ $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 时，∅′（x）＜0
∴ $\text{[math]}$ 为减函数
∴∅（x）在 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
令t=6x²则h（t）= $\text{[math]}$ 由 $\text{[math]}$ 知 $\text{[math]}$ 转化为求函数h（t）= $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上最小值
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ （当且仅当t=m时取等号）
①若 $\text{[math]}$ 时，g′（x）的最小值为h（m）= $\text{[math]}$
此时由f′（x）最大值≤g′（x）的最小值得 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
②若m＞6时，函数y=h（t）在[ $\text{[math]}$ 上为减函数
即g′（x）的最小值为h（6） $\text{[math]}$ 由题意有 $\text{[math]}$ 恒成立
∴m＞6
③若 $\text{[math]}$ 时，函数y=h（t）在 $\text{[math]}$ 为增函数，则g′（x）的最小值为 $\text{[math]}$
因此，必须 $\text{[math]}$ 此时无解
综上所述，m实数的取值范围 $\text{[math]}$
（III）问题即证 $\text{[math]}$
即证 $\text{[math]}$
下面用数学归纳法证明
当n=1时，左边=0，右边=0不等式成立
假设n=k（k≥1）时成立即 $\text{[math]}$
则当n=k+1时， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ≥（2^k-2）×2+2=2^k+1-2
即当n=k+1时原不等式成立
分析：（1）牵扯出函数的定义域，求出导函数，判断出导函数在定义域上大于0恒成立，得到函数在定义域上单调递增．
（2）先将问题转化为“f′（x）最大值≤g′（x）的最小值”，利用导函数求出f′（x）的最大值，再利用导数
求g′（x）的最小值需度m的范围分类讨论，求出最小值，列出不等式，求出m的范围．
（3）求出各个导数值，用分析法将要证的不等式化简，利用数学归纳法分三步得证．
点评：求不等式恒成立问题的一般思路是分离参数，构造新函数，求函数的最值，有时也直接将问题转化为求两个函数的最值；求函数的最值常利用导数研究函数的单调性求出，但若函数中有参数，一般要注意讨论．