题目内容

（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为
3
3
．
分析：利用双曲线的定义求出|PF1|，|F1F2|，|PF2|，然后利用最小内角为30°结合余弦定理，求出双曲线的离心率．
解答：解：因为F1、F2是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足|PF1|+|PF2|=6a，
不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|=2a
所以|F1F2|=2c，|PF1|=4a，|PF2|=2a，
∵△PF1F2的最小内角∠PF1F2=30°，由余弦定理，
∴|PF2|2=|F1F2|2+|PF1|2-2|F1F2||PF1|cos∠PF1F2，
即4a2=4c2+16a2-2c×4a×
3
，
∴c2-2
3
ca+3a2=0，
∴c=
3
a
所以e=
c
a
=
3
．
故答案为：
3
．
点评：本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力．
练习册系列答案
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（Ⅰ）求a1，a2，并求数列{an}的通项公式；
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（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为
3
+1
3
+1
．
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1
2n
，n∈N*，则
（1）a3=
-
1
16
-
1
16
；
（2）S1+S2+…+S100=
1
3
(
1
2100
-1)
1
3
(
1
2100
-1)
．
（2013•湖南）设函数f（x）=ax+bx-cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．
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{x|0＜x≤1}
{x|0＜x≤1}
．
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①②③
①②③
．（写出所有正确结论的序号）
①?x∈（-∞，1），f（x）＞0；
②?x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则?x∈（1，2），使f（x）=0．

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