题目内容
（2013•湖南）设函数f（x）=ax+bx-cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0．
（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为
（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是
①?x∈（-∞，1），f（x）＞0；
②?x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则?x∈（1，2），使f（x）=0．
（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为
{x|0＜x≤1}
{x|0＜x≤1}
．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是
①②③
①②③
．（写出所有正确结论的序号）①?x∈（-∞，1），f（x）＞0；
②?x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则?x∈（1，2），使f（x）=0．
分析：（1）由集合M中的元素满足的条件，得到c≥a+b=2a，求得
的范围，解出函数f（x）=ax+bx-cx的零点，利用不等式可得零点x的取值集合；
（2）对于①，把函数式f（x）=ax+bx-cx变形为f(x)=ax+bx-cx=cx[(
)x+(
)x-1]，利用指数函数的单调性即可证得结论成立；
对于②，利用取特值法说明命题是正确的；
对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确．
| c |
| a |
（2）对于①，把函数式f（x）=ax+bx-cx变形为f(x)=ax+bx-cx=cx[(
| a |
| c |
| b |
| c |
对于②，利用取特值法说明命题是正确的；
对于③，由△ABC为钝角三角形说明f（2）＜0，又f（1）＞0，由零点的存在性定理可得命题③正确．
解答：解：（1）因为c＞a，由c≥a+b=2a，所以
≥2，则ln
≥ln2＞0．
令f（x）=ax+bx-cx=2ax-cx=cx[2(
)x-1]=0．
得(
)x=2，所以x=
≤
=1．
所以0＜x≤1．
故答案为{x|0＜x≤1}；
（2）因为f(x)=ax+bx-cx=cx[(
)x+(
)x-1]，
又
＜1，
＜1，
所以对?x∈（-∞，1），(
)x+(
)x-1＞(
)1+(
)1-1=
＞0．
所以命题①正确；
令x=-1，a=2，b=4，c=5．则ax=
，bx=
，cx=
．不能构成一个三角形的三条边长．
所以命题②正确；
若三角形为钝角三角形，则a2+b2-c2＜0．
f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a2+b2-c2＜0．
所以?x∈（1，2），使f（x）=0．
所以命题③正确．
故答案为①②③．
| c |
| a |
| c |
| a |
令f（x）=ax+bx-cx=2ax-cx=cx[2(
| a |
| c |
得(
| c |
| a |
| ln2 | ||
ln
|
| ln2 |
| ln2 |
所以0＜x≤1．
故答案为{x|0＜x≤1}；
（2）因为f(x)=ax+bx-cx=cx[(
| a |
| c |
| b |
| c |
又
| a |
| c |
| b |
| c |
所以对?x∈（-∞，1），(
| a |
| c |
| b |
| c |
| a |
| c |
| b |
| c |
| a+b-c |
| c |
所以命题①正确；
令x=-1，a=2，b=4，c=5．则ax=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 5 |
所以命题②正确；
若三角形为钝角三角形，则a2+b2-c2＜0．
f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a2+b2-c2＜0．
所以?x∈（1，2），使f（x）=0．
所以命题③正确．
故答案为①②③．
点评：本题考查了命题真假的判断与应用，考查了函数零点的判断方法，训练了特值化思想方法，解答此题的关键是对题意的正确理解，此题是中档题．
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