题目内容

$数学公式$ ，又对于任意x₁、x₂∈D，有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）将D用区间表示；
（2）求证：f（1）=f（-1）=0；
（3）解不等式：f（x）≤0．

解：（1）∵ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 且x≠0
∴ $\text{[math]}$ …
（2）令x₁=x₂=1
则f（x）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0
令x₁=x₂=-1
则f（x）=2f（-1）=0
∴f（-1）=0…
（3）由x∈（0，1）时，f（x）单调增，
∴f（x）＜0，
当x∈（-1，0）时，令-1＜x₁＜x₂＜0
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴f（x）在（-1，0）上为减函数．
∵f（-1）=0…
∴f（x）在（-1，0）上f（x）＜0
不等式的解集为[-1，0）∪（0，1]…
分析：（1）由 $\text{[math]}$ 可得 $\text{[math]}$ ，解不等式可求x的范围，即可求D
（2）利用赋值：令x₁=x₂=1可求f（1）；令x₁=x₂=-1可求f（-1）
（3）由x∈（0，1）时，f（x）单调增，及f（1）=0可知f（x）＜0，可证f（x）在（-1，0）上为减函数及f（-1）=0可得f（x）在（-1，0）上f（x）＜0，从而可求不等式的解集
点评：本题主要考查了对数函数定义域的求解，绝对值不等式的解法，及利用赋值法求解抽象函数的函数值，利用函数单调性解不等式等函数知识的综合应用．