题目内容

f(x)定义域为D={x|log2(
4
|x|
-1)≥1},当x>0时f(x)单调递增
,又对于任意x1、x2∈D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).
(1)将D用区间表示;
(2)求证:f(1)=f(-1)=0;
(3)解不等式:f(x)≤0.
(1)∵log2(
4
|x|
-1)≥1

4
|x|
-1≥2

4
|x|
≥3
|x|≤
4
3

-
4
3
≤x≤ 
4
3
且x≠0
D=[-
4
3
 ,0)∪(0,
4
3
]
…(4分)
(2)令x1=x2=1
则f(x)=f(1)+f(1)
∴f(1)=0
令x1=x2=-1
则f(x)=2f(-1)=0
∴f(-1)=0…(8分)
(3)由x∈(0,1)时,f(x)单调增,
∴f(x)<0,
当x∈(-1,0)时,令-1<x1<x2<0
0<
x2
x1
<1

f(x2)-f(x1)=f(
x2
x1
)<0

∴f(x)在(-1,0)上为减函数.
∵f(-1)=0…(10分)
∴f(x)在(-1,0)上f(x)<0
不等式的解集为[-1,0)∪(0,1]…(12分)
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