题目内容

已知向量
OA
=(3,-4)
OB
=(6,-3)
OC
=(5-m,-3-m)

(1)若A,B,C三点共线,求实数m的值;
(2)若△ABC是直角三角形,求实数m的值;
(3)若∠ABC是锐角,求实数m的取值范围.
分析:求得
AB
=(3,1),
BC
=(-1-m,-m),
AC
=(2-m,1-m)
(1)利用向量共线的充要条件,可得3(-m)-(-1-m)=0,从而可得结论;
(2)分类讨论,利用向量垂直的充要条件,可得3(-1-m)+(-m)=0,即可得到结论;
(3)利用数量积大于0,及不共线,可得-3(-1-m)+m>0,且m≠
1
2
,即可得到结论.
解答:解:
AB
=(3,1),
BC
=(-1-m,-m),
AC
=(2-m,1-m)
(1)若A,B,C三点共线,则3(-m)-(-1-m)=0,即-3m+1+m=0,∴m=
1
2

(2)设AB⊥BC,根据x1x2+y1y2=0可得,3(-1-m)+(-m)=0,即-4m-3=0,解得m=-
3
4

设BC⊥CA,可得(-1-m)(2-m)+(-m)(1-m)=0,解得m=
5
2

设BA⊥AC,可得3(2-m)+(1-m)=0,即7-4m=0,解得m=
7
4

(3)若∠ABC是锐角,则-3(-1-m)+m>0,且m≠
1
2

解得m>-
3
4
且m≠
1
2
点评:本题考查向量的运算,考查向量共线、垂直的充要条件,属于中档题.
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