题目内容

15.已知点(-$\frac{π}{8}$,0)为函数f(x)=3sin(2x+φ)的一个对称中心,且-$\frac{π}{2}$<φ<$\frac{π}{2}$.
(Ⅰ)求φ的值及函数f(x)的单调减区间;
(Ⅱ)求f(x)在区间[0,$\frac{π}{2}$]上的最大值及f(x)取最大值时x的值.

分析 (1)首先,根据对称中心,代入即可得到相应的φ=$\frac{π}{4}$,然后,根据正弦函数的单调性确定其单调减区间;
(2)直接根据(1)的结果,利用正弦函数的图象确定其最大值即可.

解答 解:(1)∵点(-$\frac{π}{8}$,0)为函数f(x)=3sin(2x+φ)的一个对称中心,
∴将点(-$\frac{π}{8}$,0)代入f(x)=3sin(2x+φ)得,
3sin(-$\frac{π}{4}$+φ)=0,
∵-$\frac{π}{2}$<φ<$\frac{π}{2}$.
∴φ=$\frac{π}{4}$,
∴f(x)=3sin(2x+$\frac{π}{4}$),
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ,k∈Z,
∴$\frac{π}{4}$+2kπ≤2x≤$\frac{5π}{4}$+2kπ,
∴$\frac{π}{8}$+kπ≤x≤$\frac{5π}{8}$+kπ,
∴函数f(x)的单调减区间[$\frac{π}{8}$+kπ,$\frac{5π}{8}$+kπ],
(2)∵0≤x≤$\frac{π}{2}$,
∴0≤2x≤π,
∴$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{5π}{4}$,
∴当2x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$,即x=$\frac{π}{8}$时,该函数取得最大值为:3.

点评 本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角函数单调性与最值问题的处理思路和方法,属于中档题.

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